Anmerkungen

Wir wollen diese Bemerkungen mit einer Untersuchung derZahl der Bedingungen schließen, welche nöthig sind, ein Polyeder zubestimmen. Diese Untersuchung ist interessant, und scheint nochnicht da gewesen zu sein.

Man setze zuerst, das Polyeder sei von einer bestimmten Art;das heißt, man kenne die Zahl seiner Seiten, und ihre Lage gegeneinander. Es waren also in diesem Falle die Zahlen Ii, 8, -1,desgleichen a, d, e, ä ..., bekannt, und es würde die Zahl derBcstimmungsstücke, Winkel oder Seiten, verlangt, mittels welcherdas Polyeder construirt werden kann.

Man betrachte eine der Seitenflächen des Polyeders, die wirzur Grundflache annehmen wollen. Die Zahl ihrer Seiten sei n:so sind 2 u — 3 Stücke zur Bestimmung der Grundflache nöthig.Die Zahl der Körperwinkcl, außerhalb der Grundflache, ist 8 — n;der Scheitel jedes Körperwinkcls erfordert drei Bestimmungsstücke;also erfordern 8 — n Scheitel 3 8 — 3>i Bestimmungsstücke; hiezudie 2ii—3 der Grundflache, giebt in allem 38 — n — 3 Stücke.Diese Zahl aber ist im Allgemeinen zu groß. Die Zahl der Be-dingungen für den Umstand, daß die Scheitel, welche einer und der-selben Seiten-Ebene zugchören, in einer und derselben Ebene liegen,geht davon ab. n war die Zahl der Seiten in der Grundflache;nsi u"... mögen die Zahlen der Seiten in den andern Flachensein. Drei Puncte bestimmen eine Ebene; also sind die Ueberschüsseder Zahlen über 3, die Zahlen der Bedingungen für

den Umstand, daß immer mehrere Scheitel in einer und derselbenSeiten-Ebene liegen, welcher sie angehören; die ganze Zahl dieserBedingungen ist also (>ll — 3)-s-(u" — 3)-j-(»'"— 3)... DieGliederzahl dieser Reihe ist II—1, und n-j-n"... ist —2/1;also ist die Summe der Reihe —2/1 — n — 3(H—1). Ziehtman von dieser Summe 3 8 —n—3 ab, so bleibt 38—2/1-si311 —6, oder, weil 8-j-ll —A-si2 ist, A. Also ist die Zahlder Stücke, welche nothwcndig sind, um ein Polyedervon allen andern der nämlichen Art zu unterscheiden,gleich der Zahl seiner Kanten.

Die gegebenen Bestimmungsstücke können indessen aus den Li-nien und Winkeln, welche das Polyeder particularisiren, nicht will-kürlich genommen werden; denn, obgleich man so viele Gleichun-gen als unbekannte Größen haben würde: so könnte es doch kom-men, daß gewisse Verhältnisse zwischen den bekannten Größen dieAufgabe unbestimmt machten. So könnte es, dem eben Gefunde-nen zufolge, scheinen, daß die Kanten eines Polyeders zur Bestim-mung desselben allein zureichen. Gleichwohl giebt es Fälle, wo esnicht so ist. Denn, es sei z. B. ein beliebiges, nicht dreiseitiges,Prisma gegeben, so kann man mit den nämlichen und gleichmäßigliegenden Kanten, unendlich viele andere Prismen beschreiben.