zu dcn Elementen der Geometrie. Anm. 8. LW
woraus folgt, daß -i, 3, o nicht zugleich Null sein können, unddaß also kein Polyeder existirt, dessen Seiten-Ebenenalle mehr als 6 Seiten hatten.
Da 11>>4-st^w, so giebt die Substitution in die Werthevon 8 und 4, 8 >-4-j-Zw und 4>>6-stw. Aber zugleich istw<^3l1—12; also ist 8 <^211 — 4 und H, —311 — 6, wobeidie Zeichen >- und <Z immer die Gleichheit mit bedeuten. DieseGrenzen gelten allgemein, für alle Polyeder.
Zweitens. Man setze 2 4.>>48, welches bei einer unend-lichen Menge von Polyedern Statt findet, z. B. bei solchen, derenKörpcrwinkcl alle von vier oder mehreren Ebenen umschlossen werden:so ist, in diesem Falle, 11)>8-stw, oder, wenn man substituirt,
a >8-st a-st 2cl -st 3<z ....
Also muß ein solcher Körper wenigstens acht dreieckige Seiten-Ebenen haben. Die Grenze II >-8-stw giebt 8>-6-stw und4>>12 -st2w. Aber zugleich ist w<)11— 8; also ist 8<^I1—-2,4<211 —4.
Drittens setze man 24>-Z8, welches, unter andern, aufdiejenigen Polyeder paßt, deren Körperwinkel wenigstens fünsseitigsind: so erhält man I1>-20-st3w, oder
> 20 -st 23 -st Ze -st 3ä ....
Zugleich aber ist 8 >-12-st 2 w und 4>>30-j-Zw. Endlich folgtaus w<^(n —20), 8<sH(I1—-2) und 4<stZ,(I1 —2).
2 4 — 63 kann man nicht setzen; denn es ist allgemein24-st2w-st12—68; also ist kein Polyeder möglich, des-sen Körperwinkel alle von sechs oder mehreren Ebe-nen umschlossen wären. In der That ist der kleinste Werth,welchen ein ebener Winkel im Durchschnitt haben würde, der einesWinkels im gleichseitigen Dreiecke, und sechs dieser Winkel machenvier rechte aus, welches für einen Körperwinkel zu viel ist.
Viertens. Man nehme ein Polyeder an, dessen Seiten-Ebenen alle dreieckig sind: so ist w —o; also 4 — ZU und8 —2-st h ll. Man setze außerdem, daß alle Körperwinkel des Po-lyeders theils fünf-, theils sechsseitig sind; die Zahl der fünsseitigcnKörperwinkel sei p, der sechsseitigen g; so ist 8 —p-stc; und24 —Zp>-st6<;. welches giebt: 68 — 24—p>. Da nun4 —ZII,und 8 —2-stZI1, so ist p —68 — 24—12. Wenn also einPolyeder lauter dreieckige Seitenflächen hat, undseine Körperwinkel theils fünf-, theils sechsseitigsind, so ist die Zahl der fünsseitigcn Körpcrwinkclimmer 12. Der sechsseitigen Körpcrwinkcl können so viele sein,als man will. Laßt man also unbestimmt, so ist, für alle dieseKörper, 3^12-stcj, II----2V-st 2 cj> 4-----30-st3'i-