Anmerkungen

die Erklärung noch allgemeiner, ohne daß sich etwas in dem Beweisedes zweiten Satzes, von den wechselseitigen Beziehungen der Polye-der auf einander, änderte. Man kann sich auch einen guten Begriffvon der Natur symmetrischer Polyeder machen, wenn man sich deneinen der beiden Körper als das Bild des andern in einem ebenenSpiegel vorstellt. Der Spiegel vertritt dann die Stelle der vor-hin erwähnten Ebene.

A ch t c Anmerkung.

Ueber den fünfzehnten Satz im siebenten Buche.

Aus diesem Satze, welchen zuerst Euler, in den PetersburgerMemoiren vom Jahre 1758, bewiesen hat, lassen sich mehrere merk-würdige Folgerungen ziehen.

Erstlich, n sei die Zahl der Dreiecke, K die Zahl der Vier-ecke, L die Zahl der Fünfecke in der Oberfläche eines Polyeders; soist die ganze Zahl der Seiten-Ebenen desselben u-ssl'ff-Lff-ck . . ..und die ganze Zahl ihrer Seiten — 3aff-4dff -ZLff- 6 ä . . ..Diese letzte Zahl ist die doppelte Zahl der Kanten, weil immer eineKante zweien Seitenflächen zugleich angehört; also istIck — aff- 3 ff- Lff- cl....;

2^, ^3 uff-43 ff-Zoff-6 ä....und, weil nach dem gedachten Lehrsatze 8 ff-Ick^ ff-2 ist,

2 8^4ff-aff-23ff-3off-4ä....

Hieraus folgt zuerst, daß die Zahl der Seiten-Ebenen von einerungeraden Zahl von Seiten, nff-cff-s immer gerade ist.

Man setze, der Kürze wegen, 3 ff-2 eff-3c! . so ist

^^ziiff-zw;

8 ----- 2 ff- Z II ff- ^ a>;also ist, in jedem Polyeder, und 8 >2 ff-^11, wobei das

Zeichen auch die Gleichheit mit bedeutet, weil auch —osein kann.

Die Zahl aller ebenen Winkel des Polyeders ist 2^, die Zahlder Körperwinkel 8, so, daß die mittlere Zahl der ebenen Winkel,2^.

um einen Körperwinkel, — ist.

Diese Zahl kann nicht kleiner als Z sein, weil mindestens dreiebene Winkel nöthig sind, um einen Körperwinkcl zu bilden. Also muß2^j>3^ sein. Das Zeichen bedeutet wieder die Gleichheitmit. Setzt man statt tck und 8 ihre Werths in ckl und w, so ist3 II ff-m6 ff-HU ff-oder 3H>12ff-«. Setzt man hierin

die Werths von H und co in a, 3. u so erhält man

3aff-2kff-c>12ff-off- 2Iff- 21-^-38 ;