Anmerru ngen

Vierte Aufgabe.

Aus drei gegebenen Kanten eines Parallelepipe-dums und den Winkeln, welche sie einschließen, denkörperlichen Inhalt des Parallelepipedums zu finden.

Fig. 278. Die Kanten sollen 8^ —k, 8L—A, 80^Ir unddie eingeschlossenen Winkel ^8L^z,, L.80 —st, siju.

Zieht man, aus dem Puncte 0, auf die Ebene ^.3IZ das Perpen-dikel L0; so giebt das rechtwinklige Dreieck L80, 00 —L8sinL80

— K sin 080. Nun ist der Flächen-Inhalt des Parallelogramms^8L? — ig sin 7. Nennt man also 8 den körperlichen Inhalt desParallelepipedums 8'0, so ist 8 — kgir. sin « . sin 080. Es bleibtnun noch -in 080 zu suchen.

Man beschreibe zu dem Ende, aus 8, mit dem Halbmesser I,eine Kugelfläche, welche die geraden Linien 8^,, 8L, 30, 80 in v,0, ?, 0 schneidet, so entsteht ein Dreieck OL?, in welchem der Bo-gen K0 auf 00 senkrecht ist, weil die Ebene 800 auf ^80 senkrechtsteht. Nun giebt das Dreieck 000, in welchem die drei Seiten 00 —7,

00 — st und 00 — « bekannt sind, cos 0 — — c^os« cos ^

sin er sin 7

. ^ ^ (1 — cos«'—cosst^—cos/-l-2 cos « cos st cos v)

Sin0— / i tu. H.

sin « sin 7

Ferner giebt das rechtwinklige Dreieck 000: sin 00, oder sin 080

— sin0. sin 00 — sin a sin 0; also 8 —igir sin ce sin7 sin0 oder8^ kgir/hl — Los— Lässig — cos/-j-2 cos ce cosst cos 7). Indiesem Ausdrucke ist die Größe unter dem Wurzelzeichen das Pro-ducta der beiden Factoren sin « sin 7 -j- Los st — cos « cos 7 undsin er sin7 — cos st -si cos« cos 7. Der erste Factor ist gleich cos st

— cos -s- 7) — 2 sin si ^ ^ ^ 7 ^ sin ^ ^ 7—^ ^ andere

2 2

— cossv!—7) —cosst—2sin 7 ^ ^ a: ^

der gesuchte körperliche Inhalt8—2kg0/

snr'^I^.sin^^.sin^^.sin^^2 2 2

^1'

Erklart findet man dieses in der sphärischen Trigonometrie.

Anm. d. Uebers.

**) Von allen hier vorkommenden trigonometrischen Verwandlungen wirderst weiter unten Rechenschaft gegeben. Anm. d. Uebers.