zu den Elementen der Geometrie. Anm. 6. 301

Dritter Lehrsatz.

Fig. 277. In dem Vierecke LLLL seien die gegen-überliegenden Winkel rechte. Man soll, aus den bei-den gegebenen Seiten LL und LL und dem von ihneneingeschlossenen Winkel LLL, die beiden andern Sei-ten und die Diagonal LI) finden.

Es sei LL —k, LL —c und der Winkel IZLL —L. Ver-längert man und LL, bis sie sich in 1' schneiden; so giebt dasin it rechtwinklige Dreieck, von welchem der Winkel LäL und die

Seite LL bekannt sind, LL——; also LL ——— b. So-

cos L cos L

dann giebt das, in L rechtwinklige, Dreieck DLL, von welchem die

Seite LL und der Winkel LDL—-1 bekannt sind, LD^LLcotL

c— LcosL . L— ccosL

— — . Also Ist auch, ahnlicher Weise, LD— —

siuL sinL

Dieses sind die gesuchten Wcrthe der beiden Seiten des Vierecks.

Daraus folgt die Diagonal LI) ^ ^(LL^ -s. OL^)^ sc—h>cosL)-> sbst-j-c^—ZbccosL)

/s Iz^-s-2 ^ ^ ^ . Aber in

sinL / sinL

dem Dreiecke LLL ist L(t —— LbccosL); also verhaltsich die Diagonal LI), welche die Scheitel der beiden schiefen Win-kel verbindet, zur Diagonal durch die rechten Winkel, wie 1zu sin /I.

Anmerkung. Die Diagonal Ll) ist zugleich der Durchmesserdes Kreises um das Vieleck LLLI).

In diesem Kreise würde der Winkel LDL —LDL sein; alsosind die Dreiecke ML und LDL, wenn man LL auf LD senkrechtzieht, ahnlich, und geben folglich LD:LL —LL:LL^-1 :sinL,welches mit dem obigen übereinstimmt*).

*) Dieser Satz ist nur ein besonderer Fall des allgemeineren Satzes, daßsich, in jedem Vierecke im Kreise, die Diagonale», wie die Sinus der ihnengegenüberliegende Winkel verhalten; und dieser Satz folgt aus dem noch allge-meineren, daß sich beliebige Sehnen im Kreise wie die Sinus beliebiger, aufden zu de» Sehnen gehörigen Bogen stehender, Peripheriewinkel verhalten,weil die Pcripheriewinkcl die Hälften der zugehörigen Mittelpunctswiukel, vondiesen halben Mittelpunctswinkeln aber, also von den Pcriphcriewinkcln selbst,die halben Sehnen die Sinus sind, so daß sich also die halben Sehnen, undfolglich auch die ganzen Sehnen, wie die Sinus beliebiger, auf ihren Bogenstehender, Pcriphcricwinkel verhalten. Im Vierecke sind die Diagonalen Seh-nen und die gegenüberliegenden Winkel des Vierecks Peripheriewinkel, welcheauf de» zu den Sehneu gehörige» Bogen stehen. A n m. d. Ucbcrs.