zu den Elementen der Geometrie. Anm. 6. 3VZ

Fünfte Aufgabe.

Aus den in der vorigen Aufgabe gegebenen Stü-cken die Diagonal zu finden, welche zwei gegenüber-liegende Winkelscheitel verbindet.

Fig. 278. Die Diagonal 8? der Grundflache sei — 2, unddie gesuchte Diagonal LI —u. Das Dreieck ^.81?, in welchemcos 8itst — — 008 7 ist, gicbt 2- —st st- g- st- 2Ü; cos 7. Das Dreieck18L, in welchem cos1L8 —— cosL5L ist, giebt rst—2-st -Istst-Zli2cosL8L. Man braucht also nur noch den Cosinus des Win-kels 68?, oder den Bogen LH zu kennen. Nun ist, in dem Ku-geldreiccke LLLl: cos LLI ^ cos LL. cos LLl st- sin LL. sin LH cos L.

C08 6 eostt L08V

Setzt man die Werthe L? —« und eos^ —

sin LH

008 tt e()8 1^11 -j- — ^008

' s°

LNI o- SIN 7

cos« cos 7)

SIN),

sin LH cos /? st- sin List cos «

erhalt man cosLIIst

sin LII cos ^ sin (7 — List) cos «

sin 7 sin 7 sin 7

also ist 2Ü2 cos List, oder 2Ü2 cos L8L, ^ 2lr cos jZ.2 sin List

2 sin List

st- 2li cos v-8LsinL8L

Aber in dem Dreiecke 23? ist Li?^-

sin 8LL2 sin List

^ 8LsinL?3 2 sin Listund L8 — , welches giebt: — - —st und

— g. Also ist 2Ü2 cos L8L ^

SIN 7

! 2 stii cos ^ st- 2 gü cos «;

SIN 7

folglich ist das Quadrat der gesuchten Diagonal

n? — C st- g!> st- ^2 st. 2 cos 7 st- 2stü cos st- 2 Zü cos «

Anmerkung. Der Körperwinkel ^ wird von den Kantenk, g, Ii eingeflossen, welche mit einander folgende Winkel einschlie-ßen: zwei Rechte weniger 7, zwei Rechte weniger /Z, und «; alsodarf man nur in dem Ausdrucke von 8L- die Zeichen von cos 7 undcos ss ändern, um den Ausdruck von zu finden. Thut manein Gleiches für die beiden andern Diagonalen; so erhalt man dieWerthe ihrer Quadrate, wie folgt:

8^2 „2 ^ ^72 st. 0 cos 7 st- 2kli cos ^ st- 2gl! cos «;

— st st- ^2 ^2 — 2 stg cos 7 — 2 Li cos /Z st- 2 ZIr cos «;LW — Lst- g- st- Ist — 2IZ 0087 st- 2k!i cos /Z st- 2glr cos«;LL- — st st- g' st-L- st- 2ü; co«7— 2tü cos^Z— 2ZIi cos«;woraus folgt:

81- st- 4M st- Ldst st. LL- ^ 4stst- 4g- st- 4 Ist.