Anmerkungen

Wäre nun ^ rational, und gleich -—, wo ui und n ganze Zahlen

I!

sind, so würde daraus folgen

tzn

Sn — —

11

Der Ketten-Bruch rechter Hand befindet sich offenbar noch in demFalle des zweiten Lehnsatzes; also ist sein Werth irrational, und kannfolglich der Zahl Z nicht gleich sein. Mithin ist auch dasQuadrat der Zahl, welche das Verhältnis des Um-fang es zum Durchmesser ausdrückt, irrational*).

Fünfte Anm er kun g.

Enthaltend die analytische Auflösung verschiede-ner Aufgaben, das Dreieck, das Viereck im Kreise, dasParallelepipedum und die dreiseitige Pyramide be-treffend.

Erste Aufgabe.

Aus den gegebenen drei Seiten eines Dreiecks denInhalt und den Halbmesser des ein- und umgeschrie-benen Kreises zu finden.

Fig. 126. Die Seiten sollen LL —-i, —1>, LV —a, heißen.Aus dem Scheitel ^ ziehe man aus die gegenüberliegende Seitesenkrecht, so ist —2LL.1U) (Zs B. 12r S.);

*) So scharfsinnig dieser Beweis auch ist: so muß man doch gestehen, daßer auch wcitläuftig, und folglich für die Elemente nicht wohl geeignet ist.Der Beweis, welchen Lambert in seinen Beitragen zur Mathematik,2r Thcil V. giebt, ist etwas weniger strenge. Die sinnreiche Art, wieStainville in den IVlelanxos cl'anaff-ss S. 333, nach F o u ri e r, aus derReihe für die Basis der natürlichen Logarithmen, beweiset, daß diese Basisuothwcndig irrational ist, scheint sich auf den Kreis nicht bequem anwenden zulassen, weil die Reihen, welche den Bogen durch den Sinus, durch die Tan-gente u. s. w. ausdrücken, für diesen Zweck nicht genug coiwcrgiren, indemman den trigonometrischen Linien nur rationale Werthc geben darf, die, füraufgehende Thcile des UmfangeS, nur beim rechten Winkel, und einem Drit-thcilc desselben, für den Sinus, und bei der Hälfte, für die Tangente, an-zutreffen sind. Ein einfacherer Beweis, der sich zugleich möglichst aufFunctionen von ?r anwenden lasse, ist also noch zu wünschen.

Anm. d. Uebers.