zu den Elementen der Geometrie. Anm. 4.

Denn, es sei der Halbmesser — 1 und der Bogen x^—,

n

wo m und n ganze Zahlen sind; so giebt die obige Formel, wennman den Werth von x substituirt:

IN IN

tanZ — ^

tili'

7 u . . .

Dieser Ketten-Bruch befindet sich in dem Falle des zweiten Lehn-satzes; denn, da die Nenner Zu, Zn, 7n .. . immerfort zunehmen,die Zähler aber unverändert — irck bleiben: so müssen die einzelnenBrüche bald kleiner als 1 werden; mithin ist der Werth von

t-wZ — irrational; folglich ist die Tangente mit demu

Halbmesser incommensurabel, wenn der Bogen kom-mensurabel ist.

Daraus folgt unmittelbar der Satz der gegenwärtigen Anmer-kung. Es sei nämlich n der halbe Umfang vom Halbmesser 1.

Wäre ?r rational, so wäre es der Bogen - auch; und folglich müßte

4

die Tangente dieses Bogens irrational sein. Wie bekannt, ist aber,

im Gcgentheil, die Tangente des Bogens - dem Halbmesser 1 gleich;

4

also kann n nicht rational sein; folglich ist das Verhalt-niß des Umfanges zum Durchmesser eine irratio-nale Zahl H.

Wahrscheinlich ist die Zahl ?r auch keine algebraische Irratio-nalzahl, das heißt, keine Wurzel einer algebraischen Gleichung voneiner endlichen Gliederzahl, deren Coessicientcn rational sind. Indes-sen scheint dieses letztere schwer zu beweisen. Wir können blos zeigen,daß auch noch das Quadrat von n irrational ist.

- Denn, macht man in dem Ketten-Bruche, welcher taug xausdrückt, x^n, so erhält man, weil t-mg?r — o ist,

Dieser Satz ist zuerst von Lambert, in den Berliner Memoiren von1761, bewiese» worden. Anm. d. Verf.