Anmerkungen

Größegleich sei, unrichtig; folglich ist sein Werth nothwcndigirrational.

Zweiter Lchnsatz. Wenn sich alles wie vorhin

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verhalt, die Bruche —-, —, — .... aber nur im An -

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fange einen beliebigen Werth haben, von einer gewis-sen Stelle an aber immer fort kleiner sind, als dieEin-heit; so behaupte ich, daß der gegebene Ketten-Bruch,vorausgesetzt, daß er kein Ende habe, irrational ist.

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Denn, wenn, z. V. von — an, alle Brüche

n'" n'" n" n'

bis ins Unendliche, kleiner als 1 sind; so ist, zu Folge des erstenLehrsatzes, der Werth des Ketten-Bruchs

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irrational. Dieser Werth heiße w, so ist nunmehr der Werth desgegebenen Ketten-Bruchs

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— 51'

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Macht man aber, der Reihe nach,

n" -ch 51 ' Ii' -s- 51'rn

.—-—^ co'") so ist klar, daß, wenn o? irrational ist, alle die

Größen ai', 51", 01'" ebenfalls irrational sein müssen. Die letzte«ch" ist aber dem gegebenen Ketten-Bruche gleich; also ist dessenWerth irrational.

Nunmehr kann der obige Satz allgemein bewiesen werden.

Lehrsatz.

Wenn ein Vogen mit dem Halbmesser commensu-rabcl ist, so ist seine Tangente mit dem nämlichenHalbmesser inc 0 mmensurabel.