zu den Elementen der Geometrie. Anm. 4. 295L Ltc. mögen unbestimmte Zahlen bedeuten, für

und so weiter, bis ins Unendliche. Da alle Glieder dieser Ketten-Brüche kleiner, als 1 sind, so sind auch ihre gesammten Werths

, — sto. kleiner, als 1, wie eben bewiesen worden; also ist

^ u c

O<sc u. s. w., woraus folgt, daß die GroßenL, L; I), L... immerfort, bis ins Unendliche, abnehmen.Setzt man nun diese Größen nach ihrer Bedeutung zusam-men,^ ist

L in

n -s- , woraus folgt tl — — uL,

L

v

n' -f- —, woraus folgt U — m'L — n'll,

n"-f- —, woraus folgt L—— n'v,

II

u. s. w. Da aber die beiden ersten Glieder und L, der Vor-aussetzung nach, ganze Zahlen sind; so folgt, daß alle übrigen,L, I), L..., welche bis jetzt unbestimmt waren, ebenfalls ganzeZahlen sind. Es ist aber unmöglich, daß eine unendliche Reihe vonGrößen L, c, I), L.... aus ganzen Zahlen bestehe undzugleich immerfort abnehme. Keine der Zahlen L, L, I), U . . .kann gleich Null sein, weil der fortlaufende Bruch kein Ende hat,

und folglich die durch , - bezeichneten Summen

L. L e

immer einen bestimmten Werth haben müssen- Mithin ist die Vor-aussetzung, daß der gegebene fortlaufende Bruch einer rationalen