2»t Anmerkungen

Einheit. Der Werth desselben heiße co, so ist klar, daß auch nochkleiner ist, als die Einheit; also ist auch der Werth dreier

n -j- ca

Glieder

kleiner, als die Einheit. Fährt man auf diese Weise fort, so findetsich, daß der fortlausende Bruch, so viele Glieder man auch vondemselben nehmen mag, immer kleiner ist, als Eins; folglich istder Werth des Bruchs, wenn man auch bis ins Unendliche fortgeht,kleiner als 1. Nur in dem einzigen Falle, wenn der gegebene Bruchvon der Formni

u^-s- 1-

....

wäre, ist der Werth desselben der Einheit gleich*). In jedem an-dern Falle ist er kleiner.

Bezweifelt man es nun, daß der Werth des gegebenen fortge-setzten Bruchs irrational ist, und nimmt also an, er sei rational,

so setze man ihn — wo L und L. ganze Zahlen sind, welchees auch sein mögen. Es wäre also

*) Denn verwandelt man zwei, drei u. s. w. Glieder dieses fortgesetztenBruchs in gewöhnliche Brüche, so findet sich, daß der Nenner immer nurum 1 größer ist als der Zähler. Z. B. die beiden ersten Glieder gebe»innU-t-in ^ m nU in" mm/-f-in , die drei ersten Glieder -— — u. s. w.

miw-j-IN -s-1 in iw lli"-i-nnw ^-in-ß-1

Da nun in, iw in" . .. ganze Zahlen, also größer als 1 sind, so sind, imUnendlichen, Zähler und Nenner einander gleich; folglich ist der Werthdes ganzen wirklich unendlichen, Bruchs gleich 1. Anm. d. Uebcrs.