zu den Elementen der Geometrie. Anm. 4. 2!»S

gegeben, in welchem alle Zahlen m, n, nck, n" ?c. ganzepositive Zahlen sind. Nimmt man an, daß alle die

einzelnen Brüche —, —, — . . . kleiner als Eins

n ick Ii"

sind: so behaupte ick), daß der Werth des ganzen Ket-ten -Bruchs nothwendig eine Irrationalzahl ist.

Zuerst laßt sich zeigen, daß der Ketten-Bruch kleiner als Einsist. Denn, ohne die Allgemeinheit des Ausdrucks zu vermindern,kann man alle Renner n, ick, n" . . . positiv annehmen*).Nimmt man nun den ersten Theil der gegebenen Reihe allein, so

ist, der Voraussetzung nach, — 1. Nimmt man die beiden

— < 1 **). Nun ist in kleiner, als n; also ist auchnck

m n st- — weil m und n ganze Zahlen sind ***). Also istick

der Werth des Ketten-Bruchs, wenn man zwei Glieder

IN

n st- —

ick

nimmt, kleiner, als die Einheit. Nimmt man drei Glieder, so

ist, wie eben bewiesen, der Theil kleiner, als die

in"

lck-I

») Nämlich, weil noch die Zahler, wie man will, positiv oder negativsein könne». Anm. d. lieber,.

**) Denn, ist nck positiv, so ist n st ^ sogar größer als n, indem

ii, ick, n" .. . sämmtlich positiv sein solle». Ist nck negativ, so ist wenigstens^ kleiner als 1, und folglich n st- —- > n — 1; folglich ist in allen

Anm. d. ilebcrs.

***) und n st nicht uni eine volle Einheit von n abweicht.

Anm. d. liebers.