Anmerkungen

Endlich dürfen wir nicht verhehlen, daß die vorstehende Theorie,obgleich auf den festesten Gründen gebauet, von dem berühmtenI.eslis zu Lciiirbui-A, in der 2tcn und Ztcn Auflage seiner Geome-trie, angegriffen worden ist. Aber, ohne in irgend ein Detail überdiesen Gegenstand einzugehen, ist es hinreichend, zu bemerken, daßdie Einwendungen des Herrn Osslia, zunächst von feinem Landsmanns,Herrn Ulazck'air im Lcliiidurg rsvisvv, tow 2l), und dann vom

den Beweis bis dahin, daß der Inhalt g? (p, q) — «pc> seh, zugegeben:so muß doch unstreitig noch bewiesen werden, daß ce — 1 ist, weil mansonst, eben so wohl, u — L, 3, oder was man will, setzen könnte.

Für Elemente dürfte» Beweise, die nicht so strenge sind, daß ankeinem Theile derselben Zweifel übrig bleiben, nicht zu empfehlen sein.

Man findet noch von mehrern mathematischen Sätzen analytische Be-weise in einem Buche, welches den Titel führt: Lröois cl'uns nvu-volle metlrocle, pnur recluire a des simples proröclesunal ^tigues, In <l emo nstrntion cles principaux tlreoremes<le in xeo Metrie etc. psr 3. Ol. O. . . . ?nris an Vl. cle Inrepubligue. Allein auch diese Beweise sind wenig befriedigend.

Unschätzbar wäre der Gewinn, wenn die Analysis die Lücke der Eu-klidische» Geometrie, die das eilfte Axiom läßt, ausfüllen könnte. Möchteder Beweis noch so schwierig sein: er würde, ohne alles Bedenken, selbsti» die ersten Elemente gehören, weil für die Wahrheit kein Preis zuthcucr ist; aber bis jetzt scheint dieser Versuch, die Geometrie zu begrün-den, nicht gelungen.

Uebrigens kann man, wenn man ja, bei dem Satze von den Winkelndes Dreiecks, den Schluß, daß O — g?(L, 0) sei, weil p zu 0 undO ungleichartig ist, gelten lassen will, kürzer zum Ziele kommen, als inder Anmerkung, und der Ucbergang zu einem beliebigen Dreiecke, durchdas rechtwinklige, kann füglich erspart werden. Denn, im Falle derdritte Winkel der nämliche bleibt, wcnn die beiden ersten dieselben sind,mache man ^015 — idöO. (Fig. 10.) Alsdann ist 15 —O, weil v —0und —^ ist. Da nun 015 mit SO parallel ist, oder OL nicht schnei-det, weil, wcnn es anders wäre, 0 nicht gleich II sein würde (Euclid 1sB. 16r S.); so folgt, daß Parallelen LO und 015, mit einer und der-selben Linie ^OI5, gleiche Winkel 0 und 15 machen. Hieraus aber folgt,daß dann, wenn LO^. und 015ä. ungleich sind, z. B. LOI5 ff-0I5O <zwei rechte ist, die Linie 150, die <10 nothwcndig schneiden muß; weil,wen» es anders wäre, das heißt, wcnn OL mit 150 parallel wäre, 015und VO wie vorhin bewiesen worden, mit ^OI5 gleiche Winkel machenwürden, gegen die Voraussetzung. Dieses ist schon das eilfte Axiom,worauf man dann weiter ganz Euclid folgen könnte.

Auch unmittelbar könnte man de» Satz von den drei Winkeln imDreiecke, wie folgt, finden. Mau mache nämlich (Fig. 11.) DOOl—L^O,so, daß also VOI5 mit ^0 parallel ist; so ist l5Od', oder LO0 — XLO,weil Parallelen mit einer und derselben geraden Linie gleiche Winkel ma-chen, zufolge der obigen unmittelbaren Folgerung. Also ist LOld ff- LO0ff- VOOl — UL^ ff- L0O ff- L.^O. Die ersten drei Winkel sind aber zu-sammen gleich zwei rechten; also betragen die letzten eben so viel.

Anm. d. ll ebers.