tcn wenn man will. Die Einheit der Linien ist irgend eine willkürlicheLinü. Der Unterschied ist bloS, dafi die Einheit des Winkels gewissermaßenabsoluter ist, als die der Linie. Zahlen aber sind beide. Also verschwindetauch ziemlich, in Bezug auf die Rechnung, die Ungleirhartigkeit, auf wel-cher Alles beruht.

Aber gesetzt: selbst der Schluß, daß die Seite, als Linie nicht vonWinkeln allein abhängen könne, deshalb, weil sie eine Linie und kein Win-kel, oder keine Zahl ist, würde zugegeben; so scheint doch noch immer nichtzu folgen, daß in der Gleichung (^, U, p) die Linie p unter dem

Zeichen <x nicht vorkommen dürfe. Man nehme z. B. irgend eine »n-

P

veränderliche Linie « an, so ist — eine eben so absolute Zahl, wie dieZahlen xV und v, welche die Winkel ausdrücken sollen. Dann aber könntevielleicht 0—cp I!, —^ sein, und es laßt sich schwerlich ein Grundangeben, warum es nicht so sein sollte.

Ich meines Theils habe mich daher von der Kraft dieses Beweises deScilfte» Euclidischcn Axioms niemals überzeuge» können.

Auch die Beweise der andern Satze scheinen nicht strenger zu sein.

Bei dem Satze von der Aehnlichkeit der Dreiecke wird z. B. gesagt:da die zweite Seite m eine Function von den beiden Winkeln tr, Ij und der

Seite p sei; so sei auch — eine Function von diesen drei Stücken. Ist? .

dieses der Fall, so kann auch Z. B. ——^ (wo v: eine willkürliche unvcr-

p 4- «

anderliche Linie bedeutet), eine Function von L und p sein; also kann auch

III 4» cx

—,— — I/I L, p), oder wcilp, als Linie, unter dem. Functionszcichenp 4-«

nicht soll vorkommen können, m -f- ce — (p H xsi G- H) Eben so nH«

— (g 4^ 4^ ^ ^ (l^ 4^ cr) Ii), und 11^ 4"

— (p^ H ^ (Ii- ^); also folgt w 4- er ! 4^ cr — n 4" u : 4" er,

welches ein ganz anderer, und zwar unrichtiger Satz ist, der jedoch aufdenselben Schlüssen beruht.

Ungefähr eben so ist es mit den übrigen Sätzen. Wenn man dieje-nigen Forme» im voraus annimmt, die zu den Sätzen passen, so findetman freilich die Sätze; aber der Beweis, dafi man gerade die vorausge-setzten Formen annehmen müsse, und keine andern, fehlt. Er ist aber»othwendig, weil man hier, wenn man andere Formen annimmt, andereSätze findet.

Auch bei dem analvtischcn Beweise, dafi pg der Inhalt eines Rechtecksist, dessen Seiten p und sind, scheint Etwas zu fehlen. Denn, selbst

zu den Elementen der Geometrie. Anm. 2. 28?

Die Betrachtung der Functionen, welche hier zu einerso einfachen Beweis-Art der Hauptsätze der Geometrie diente,ist auch schon mit gutem Erfolge bei den Beweisen der Haupt-Lehrsätze der Mechanik angewendet worden. Man sehe den zwei-ten Band der Turiner Memoiren.