Anmerkungen

— v(3p' st) —4g>(x, <z). Also ist allgemein, wenn

st eine beliebige ganze Zahl ist, y>(stst, st) — st?>(s>, st), oder<-.<>>. ^ »l^>. <I>^

p leg p

che Function von p ist, daß sie sich nicht verändert, wenn manStatt x ein beliebiges Nielfache von s? setzt. Also ist,diese Functionvon x unabhängig, und kann nur <z enthalten. Aus demselben

Grunde ist auch ^ von fl unabhängig; folglich enthält

weder x noch g, und ist folglich einer Constänte « gleich.>»! .

Also ist <p(x, st) —ce p u; und, da nichts hindert a —1 zusetzen, so erhält man g-sfl, st)—stst- Also ist der Inhalt einesRechtecks gleich dem Producte seiner beiden Abmessungen. Auf gleicheArt läßt sich beweisen, daß der Inhalt eines rechtwinkligen Parallele-pipedums, besten Abmessungen p, r sind, dem Producte i^r sei-ner drei Abmessungen gleich ist *).

Meines Erachtens haben alle diese Beweise wenig Kraft. Im er-sten Beispiele, bei dem Satze von den Winkeln im Dreiecke, beruht Allesauf der Behauptung, daß gingteichartige Größen, wie Winkel und Seiten,nicht von einander abhängen könnein Ware dies unbedingt der Fall,, somöchte der Schluß gelten: aber in unzähligen Fällen hangen wirklich Sei-ten von Winkeln und Winkel von Seiten ab. Ei» Dreieck z. B. wirdauch durch'zwei Seiten und dm eingeschlossenen Winkel bestimmt, folglichhangen die beiden andern Winkel nicht bloS von dem gegebenen Winkel,sondern zugleich von den beiden Seiten ab; folglich kann jede Seite ausder andern und dem Winkel gefunden werden. In dem vorigen Falle istfreilich nur eine Seite da, folglich müßte diese Seite aus den drei Winkelnallein gefunden werden können, im Kalle der dritte Winkel zugleich vonder Seite abhingc. Allein da wirklich, z., B. in dem erwähnten zweitenFalle, Winkel ans Seiten und umgekehrt, Einfluß haben; so sieht mannicht im voraus; warum dieser Einfluß ganz aufhören sollte, wenn dieWinkel allein da sind. Daß es so ist, weiß man freilich: aber daß es sosein müsse, ist gerade das, was erst 'bewiesen werden soll. DerSchluß verliert noch mehr an Stärke, wenn man sich erinnert, daß um-gekehrt wirklich auch die Winkel von Seiten allein abhängen können.Denn ein Dreieck wird durch seine drei Seiten allein bestimmt, ohne alleWinkel; also,hängt jeder seiner Winkel von den drei Seiten allein ab,und kann aus-ihnen gefunden werden. Wäre es nun unmöglich/daß un-gleichartige Größen von einander abhängen: so wäre es auch unmöglich,daß drei Seiten ein Dreieck bestimmen; welches doch glcichwol wirklich derFall ist. -

Untersucht man naher, worin die Unglcichartigkcit von Winkeln undSeiten für die Rechnung besteht; so finden sich neue Zweifel. In dem Be-weise wird nämlich gesagt: Winkel wären Zahlen. Allein Linien sind esauch, zufolge der öfter wiederholten Lehre in diesem Buche selbst. DieEinheit des Winkels ist der rechte Winkel, oder die Summe von vier rech-