zu den Elementen der Geometrie. Anm. 2. L85
ses, vom Halbmesser r^ —a", seine Mche so wird auch sein:und — — jZ. Also ist o : tp — 2- : r' und s: — 2 ^ ! r'.
Also verhalten sich die Umfange der Kreise, wie dieHalbmesser, und die Flachen, wie die Quadrate derHalbmesser.
Es sei ein Ausschnitt gegeben, dessen Halbmesser r und dessenWinkel A ist; x sei der Bogen, welcher den Ausschnitt begrenzt, zcdie Flache des Ausschnitts. Da dieser Ausschnitt völlig bestimmt ist,wenn es r und A sind; so müssen x und > bestimmte Functionen
X V
von r und A sein; also müssen — und —ebenfalls solche Functio-
r
NM sein. Aber — und — sind Zahlen; folglich können diese Großenr i-2
kein r enthalten, sondern sind blos Functionen von A,, so, daß<p (A) und — — ip (2^) . x/ sei der Bogen und ^ die
I- I'2
Fläche eines andern Ausschnitts, dessen Winkel 24 und dessen Halb-messer 2-^ ist. Wir wollen die beiden Ausschnitte ahnlich nen-nen. Da der Winkel A in beiden der nämliche ist; so ist
— — (A) und — — 2p (A); also ist X: x^ — r: 2^ und z: : ^
— r^:r". Also verhalten sich ahnliche Bogen, oderdie Bogen ahnlicher Ausschnitte, wie die Halbmesser,und die Ausschnitte selbst, wie die Quadrate derHalbmesser-
Wie leicht zu sehen, laßt sich auf gleiche Art beweisen, daß sichKugeln wie die Würfel ihrer Halbmesser verhalten.
Es wird bei allem Obigen vorausgesetzt, daß das Maß vonFlächen ein Product von zweien, und das Maß von Körpern einProduct von drei Linien sei. Auch dieses laßt sich analytisch leichtbeweisen. Wir wollen ein Rechteck annehmen, dessen Abmessungenp und g sind: so ist seine Flache eine Function von p und cz.Sie werde durch y?(p, <z) bezeichnet. Betrachtet man ein anderesRechteck, dessen Abmessungen und ^ sind; so ist klar, daß
dieses Rechteck aus zwei andern Rechtecken zusammengesetzt ist, vonwelchen das eine p und <z, das andere und <z zu Abmessungenhat, so, daß
-l).
Es sei so erhält man <p(2p, <>)—2?>(p> cz). Es
sei p' —2p, so erhält man >p(3p, <z)^y?(p, <z)->-?>(2p, c>)
— 3?>(p, <z). Es sei 211: 3p, so erhält man ?>(4p, y)