zu den Elementen der Geometrie. Anm. 2. 28S

AL<L und AÜIL haben zwei einzeln gleiche Winkel, nämlich: den Win-kel ^ gemeinschaftlich, und einen rechten Winkel. Also sind diese Dreieckegleichwinklig; folglich hat man die Proportion AL : ALKALI i.AAI,vermittels welcher der zwanzigste Satz bewiesen wird.

Der Satz vom Quadrate der Hypothenuse ist, wie bekannt,eine Folge des Satzes von den gleichwinkligen Dreiecken. Es ließensich also drei Hauptsatze der Geometrie, nämlich die Satze von dendrei Winkeln eines Dreiecks, von gleichwinkligen Dreiecken, und vomQuadrate der Hypothenuse, einfach und unmittelbar durch die Be-trachtung von Functionen beweisen. Eben so kann man, sehrkurz, die Sätze von ähnlichen Figuren und ähnlichen Körpern beweisen.

Es sei ALL» ein beliebiges Vieleck. Man nehme die SeiteAR zur Grundlinie an, und beschreibe, über derselben, so viel Drei-ecke ALL, ALL u. s. w. als Winkel LH II, L eta. außerhalb derGrundlinie liegen. DieGrundlinie AL sei gleich p. Die beiden Winkel,im Dreiecke ALL, an der Seite AL, sollen A und L, die beiden Winkel imDreiecke ALL, an der nämlichen Seite AL, sollen A^ und IL hei-ßen u. f. w. Die Figur ALLIIL ist vollständig bestimmt, wennman die Seite p, nebst den Winkeln A, L; AH LHA", L" u. s.w.,kennt. Die Zahl der gegebenen Stücke ist 2» — 3, wenn die Zahlder Seiten des Vielecks n ist. Nun wird eine beliebige Seite, oderselbst, eine wie man will gezogene Linie x, eine Function der gege-benen Vcstimmungsstücke des Vielecks sein; und da — eine Zahl

ist, so kann man setzen: -— — ->p(A, L, AH IL. . .), oderp

x^pipsA, L, AH IL . . .), so, daß die Function -ch kein xenthält. Beschreibt man, mit denselben Winkeln A, L; Ast IL ...,und einer andern Seite pH ein zweites Vieleck; so hat man für dieLinie xH die mit x corrcspondirt, oder ähnlich liegt, den Ausdruckx/ —pL 1h (A, L, AH IL . . .); also ist X: x/— p : pH Figu-ren, welche wie diese construirt sind, kann man ähnlich nennen;also sind, in ähnlichen Figuren, ähnlich liegendeSeitenproportional. Folglich verhalten sich, in den beiden Figuren, nichtallein ähnlich liegende Seiten, sondern auch ähnlich liegende Diago-nalen, oder beliebige ähnlich liegende Linien, wie andere beliebige,ähnlich liegende Linien.

Der Inhalt eines ersten Vielecks heiße 8. Derselbe ist mitdem Quadrat p^ gleichartig; also ist — eine Zahl, welche nur von

den Winkeln A, L; AH IL . . . abhängt, so, daß 3----zLyHA, L; AH IL . . . ) ist. Aus demselben Grundeist, wenn 8^ die Oberfläche des zweiten Vielecks bedeutet,tL^L- yz (A,L, AH IL . . .); also ist 8,: 8'^xDpH Folg-