Anmerkungen

dritte Winkel LAI) dem dritten L gleich. Aus eben dem Grundeist der Winkel D/1D —II; also ist U^DZ-D/1lI, oder U/IL, —1I-sitI.Nun ist der Winkel U/IL ein rechter; also sind die beidenspitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zusam-mengenommen einem rechten Winkel gleich.

Fig. 112. Es sei ferner U/IL ein beliebiges Dreieck, und LLeine Seite, welche nicht kleiner ist, als jede der beiden ander». Ziehtman auf LL, aus dem gegenüberliegenden Winkelscheitel il, das Per-pendikel /II): so fallt solches in das Dreieck ^1UL, und theilt es inzwei rechtwinklige Dreiecke U/11) und D/IL. In dem rechtwinkligenDreiecke Ii/11) sind aber die beiden Winkel Ii/11) und /IUI) zusam-men einem rechten gleich; in dem rechtwinkligen Dreiecke D/IL sinddie beiden Winkel 1)/1(i und /1LI) ebenfalls zusammen einem rechtengleich. Also sind die vier Winkel, zusammengenommen, das heißt,die drei U/iL, /1UL und /1LL zusammen zwei rechten gleich; folg-lich ist in jedem Dreiecke die Summe der drei Winkelgleich zwei rechten.

Man sieht hieraus, daß dieser Satz, s 91101-1 betrachtet, vonkeinen andern Sätzen abhängt, sondern unmittelbar aus dem Grund-satze der Gleichartigkeit bewiesen werden kann, welcher Grundsatzüberall, bei jedem Verhältnisse zwischen Größen, nothwendig Statt fin-den muß. Wir wollen die Untersuchung weiter verfolgen und zei-gen, wie auch die andern Hauptsätze der Geometrie aus der näm-lichen Quelle geschöpft werden können.

Die obigen Bezeichnungen sollen bleiben, außerdem aber die denWinkeln ll und L gegenüberliegenden Seiten m und u heißen. DieGröße in wird durch die Größen /I, U und 9 völlig bestimmt; also

ist in eine Function von /I, U und 9, und — ebenfalls, so, daß

9

— —-Ip s/1, u, 9); aber — ist eine Zahl, wie /I und U; folg-9 P

lich kann die Function isi die Linie 9 nicht enthalten, sondern es

muß blos — ^ (/1,U), oder in — 9 isi L) sein. Eben so ist9

n isi (U, ^).

Nun habe ein anderes Dreieck die nämlichen Winkel /I, L, L.Den Winkeln /I, U, L sollen jetzt die Seiten nü, rü, 9^ gegenüber-liegen. Da sich il und II nicht ändern, so ist in dem neuen Drei-ecke nü — L) und >ü — lü isisL, -4-): also ist in: nü

— n : rü ^ folglich stehen, in gleichwinkligenDreiecken, die den gleichen Winkeln gegenüberliegen-den Seiten in gleichem Verhältnisse.

Aus diesem allgemeinen Beweise folgt, als ein einzelner Fall,der Beweis des zwanzigsten Satzes im Texte. Denn die Dreiecke