zu den Elementen der Geometrie. Anm. 2. L81

Seite in dem einen so groß sind, als in dem andern.Die Seite soll die beiden daran liegenden Winkel sollen undL heißen, der dritte Winkel lt. Dieser dritte Winkel L ist also voll-kommen gegeben, wenn man die beiden Winkel ^ und II und dieSeite x kennt-, denn, gehörten mehrere Winkel L mit den drei ge-gebenen Stücken ll, L und i? zusammen: so würde es eben so vieleverschiedene Dreiecke mit der nämlichen Seite und den nämlichenbeiden anliegenden Winkeln geben, welches unmöglich ist: also mußder Winkel L eine bestimmte Function der drei Größen L, sein,welches ich durch L —g? (L,, L, p) bezeichnen will.

Der rechte Winkel sei der Einheit gleich: so sind die Winkelö, L Zahlen zwischen 0 und 2; und da L —L, x) ist,so behaupte ich, daß die Linie nicht in der Function <p vorkommenkann. In der That wird L durch ö, p völlig bestimmt, ohneHülfe eines andern Winkels, oder irgend einer Linie. Die Linie paber ist eine zu den Zahlen II, tl ungleichartige Größe, und,wenn irgend eine Gleichung zwischen L., L, L und p Statt fände,so würde man daraus p in IZ, L finden können, woraus folgenwürde, daß p einer Zahl gleich sei, welches ungereimt ist- folglichkann x in der Function P nicht vorkommen, und es ist blos

H >).

Diese Formel beweiset schon, daß, wenn zwei Winkel einesDreiecks: gleich zwei Winkeln eines andern Dreiecks sind: daß dannauch die dritten Winkel gleich sind, und hieraus laßt sich der Lehr-satz leicht beweisen.

Fig. 109. Es sei zuerst lWL ein, in F rechtwinkliges, Dreieck.Man ziehe , aus , auf die Hypothenuse senkrecht. Die Win-kel L und D des Dreiecks sind den Winkeln L und >1 desDreiecks gleich; mithin ist, dem obigen Beweise zufolge, der

*) Man hat gegen diesen Beweis eingewendet, daß daraus, wennman ibn, Wort um Wort, auf Kugcldreiccke bezöge, folgen würde, daßzwei Winkel eines Kugeldreiecks zur Bestimmung des dritten biureichen,welches bei solchen Dreiecken nicht der Fall ist. Die Antwort hierauf ist,daß Kugeldreieckc ein Element mehr haben, als geradlinige, nämlich denHalbmesser der Kugel, von welchem man nicht abstrahiren darf. DieserHalbmesser sei r; so muß nicht sowohl <Z —<x (cl, II, p) als vielmehrO —gs II, p, r) oder, blos nach dem Gesetze der Homogeneitat, C —

y>^, 0, —^ sein. Da aber nun der Quotient-^- eine Zahl ist, wie

v, v, so hindert nichts, daß — in der Function g? vorkomme, und

r

dann kann man daraus nicht mehr schließen: (Z —<p <^, L).

Anm. d. Verf.