Anmerkungen
zum Beispiele, in dem Räume IlL>l: so würde sie den Thcil LLUdes Ebenen-Raumes nur in zwei gleiche, oder in zwei ungleicheTheile theilen können. Der Raum »0)1 hat seinen corrcspondircn-den Lkldlsi an der andern Seite von Lbl. Da nun aber die Ebene,außer diesen beiden einander gleichen Theilen, noch zwei andere, inden gleichen Winkeln AEiVI und Addl', hat; so folgt, daß derWinkelraum Llibl nicht die Halste des ganzen Ebenen-Raumes ist.Also könnte die Linie XX, welche, nach der Voraussetzung, denRaum LG>l in zwei Theile thcilt, den ganzen Raum nur in zweiungleiche Theile theilen; was der Natur der geraden Linie wider-spricht -).
Durch diesen sehr einfachen Satz wird nicht allein das Postulat,welches unsern Beweis an der Strenge hinderte, gerechtfertigt; son-dern man kann auch durch denselben das Euclidische Postulat unmit-telbar beweisen. Dieses Postulat läßt sich nämlich bekanntlich leichtauf den Fall reducircn, wo eine gerade Linie AL (Fig. 276) aufAL senkrecht steht, während die andere Kl) mit AL einen WinkelALI) macht, der kleiner ist, als ein rechter; in welchem Falle mandenn beweisen muß, daß L», verlängert, die Al) nothwendigschneidet.
Man verlängere AL nach (7 und mache ALIA^-AL!). Schnittenun Lv die AL nicht, so müßte ganz in dem Winkel DLILenthalten sein, der kleiner ist, als zwei rechte; was unmöglich ist.
Wir überlassen den Geometern, zu entscheiden, ob dieser Be-weis nicht verdiene, in die Elemente ausgenommen zu werden, vor-zugsweise vor jedem andern, um den Äaclidischen Gang herzu-stellen, der dann, nachdem das Postulat weggeschafft worden, ganzstreng ist ").
Wir wollen jetzt weiter zeigen, daß man mit Erfolg von derAnalysis Gebrauch machen kann, um den 19ten und andere Haupt-sätze der Geometrie zu beweisen. Wir wollen solches mit aller noth-wendigen Ausführlichkeit thun, und mit dem Satze von der Summeder drei Winkel eines Dreiecks ansangen.
Unmittelbar durch das bloße Aufeinanderlegen, und ohne irgendeinen Hülfssatz, läßt sich beweisen, daß zwei Dreiecke gleichsind, wenn zwei Winkel und die dazwischen liegende
*) Diese Stelle scheint etwas dunkel zu sein. Anm. d. Ucbers.
Wenn man unbegrenzte Ebenen-Räume bei dem Beweise des IltenEuclidischen Axioms zu Hülfe nehmen will, so kann man, wie es scheint,auch noch leichter zum Ziele gelangen. Die oben erwähnte Anmerkunggiebt, auf S. 31., ein Beispiel davon. Anm. d. Uebers.