zu den Elementen der Geometrie. Anm. 2. 27S

fem Grunde sind wir in der Sten Auflage dieses Lehrbuchs wiederzu dem einfachen Euclidi scheu Verfahren zurückgekehrt, wegendes strengen Beweises auf die Zusätze verweisend.

Bei fernerer Untersuchung des Gegenstandes sind wir überzeugtgeblieben, daß, um unser Postulat vollständig zu beweisen, nur ausder Definition der geraden Linie eine Eigenschaft derselben hergeleitetwerden dürfe, welche ihr alle Aehnlichkeit mit der Hyperbel zwischenzwei Asymptoten benimmt. Folgendes ist das Resultat unsererUntersuchungen.

LAD (Fig. 274) sei ein gegebener Winkel, und M ein gege-bener Punct, innerhalb desselben. Man theile den Winkel LAD,mittels der geraden Linie AI), in zwei gleiche Theile, und ziehe ausM die gerade ML, senkrecht auf AI): so behaupte ich, daß NU, nacheiner und der andern Seite verlängert, nothwendig beide Schenkeldes Winkels LAD schneiden wird.

Denn, schnitte sie, erstlich, den einen Schenkel des Winkels: somüßte sie nothwendig auch den andern schneiden, weil, vom PuncteU ab, alles auf beiden Seiten völlig dasselbe ist. Schnitte sie aber,zweitens, nicht den einen Schenkel, so könnte sie, aus dem näm-lichen Grunde, auch den andern nicht schneiden. In diesem letztenFalle also müßte sie ganz in dem Räume des Winkels LAtl einge-schlossen sein. Es widerstreitet aber der Natur der geraden Linie,daß sie, unendlich verlängert, ganz innerhalb eines Winkels liegensoll. Jede gerade Linie AL nämlich, nach beiden Seiten hin ohneEnde verlängert, theilt die Ebene, in welcher sie sich befindet, inzwei Theile, die, auf einander gelegt, sich decken und einander voll-kommen gleich sind. Der Theil AML der Ebene, an der einenSeite von AL, ist nämlich, in Allem, dem Theile AMLL an derandern Seite gleich. Man nehme einen festen Punkt auf ALan; so wird jeder Punct M des Thciles AML durch die EntfernungtlM und den Winkel AllM bestimmt. Macht man nun, aus der an-dern Seite von AL, ALiVL^ALM und LDL —(AM; so ist es of-fenbar, daß die Puncte M und KU, in den beiden Theilen derEbene, die nämliche Lage haben werden, und daß also M in DUfallen wird, wenn man die besden Theile der Ebene auf einan-der legt.

Setzen wir nun, irgend eine unbestimmte Linie XX sei, wennes möglich ist, ganz in irgend einem Winkelraume eingeschlossen.

der zweiten Linie, wenn sie Statt fände, würde aber die unbegrenzte Fort-setzung der Construction des Verfassers nicht zulassen, was jedoch zurStrenge des Beweises nothwendig wäre. Anm. d. Verf.