278

Anmerkungen

Zuerst harten wir strenge bewiesen, daß die Summe der dreiWinkel eines Dreiecks nicht größer sein kann, als zwei rechte!ein Satz, der sofort, durch einen wesentlichen Umstand, die geradli-nigen Dreiecke von den Kugeldrciecken unterscheidet. Nachdem dererste Jcheil dessen, worauf es ankommt, bewiesen war, blieb nunzu zeigen übrig, daß die Summe der Winkel eines Dreiecks auchnicht kleiner sein könne, als zwei rechte. Auf die Weise aber,wie der Ueberschuß der drei Winkel eines Kugeldreiecks, über zweirechte, sich wie die Oberfläche des Dreiecks verhalt: so würde auch,wenn die Winkel eines geradlinigen Dreiecks zusammen kleiner wa-ren, als zwei rechte, das, was an zwei rechten fehlt, zu dem Flä-chen - Inhalte des Dreiecks im Verhältnis stehen. Es ist leicht zusehen, daß, wenn man im Stande ist, mit einem gegebenen Dreieckeein anderes zu construiren, welches das gegebene m mal enthalt:daß dann das, was den Winkeln dieses Dreiecks an zwei rechtenfehlt, in mal so viel betragen wird, als das, um welches die Win-kel des gegebenen Dreiecks kleiner sind, als zwei rechte. Es müßtealso alsdann die Summe der Winkel des größer» Dreiecks immer-fort abnehmen, je größer in wird, bis sie zuletzt Null, oder garnegativ wird. Da beides Letzte nicht sein kann, so würde darausfolgen, daß die Summe der Winkel eines Dreiecks auch nichtkleiner sein kann, als zwei rechte.

Da der Gang dieses Beweises offenbar ganz strenge ist; sofolgt, daß alles nur darauf ankommt, ein Dreieck zu construiren,welches wenigstens zweimal das gegebene enthalt. Die dem An-scheine nach ganz einfache Auflösung, welche wir von dieser Aufgabegaben, setzt aber voraus, daß man durch einen gegebenen Punct,in einem Winkel, der kleiner ist, als zwei Drittheile eines rechten,immer eine gerade Linie ziehen könne, welche nothwendig beideSchenkel des Winkels zugleich schneidet.

Wir waren unserm Ziele sehr nahe gekommen; aber wir hattenes nicht vollständig erreicht; denn unser Beweis hing noch von einemPoflulate ab, welches allenfalls geleugnet werden konnte *). Aus die-

*) Nämlich von dem cilftcn Euclidisehe» Axiome selbst, welches erst be-wiesen werden soll. Man sehe deshalb oben die Anmerkung S. 28.

Anm. d. Uebcrs.

Im pbilosnpliioal magviiiixz vom Marz 1822 hat ein Geomcter ver-sucht , unfern Beweis zu vervollkommnen und ihn von jedem Postulateunabhängig zu machen. Zufolge des Verfahrens, welches er anwendet, umden zwecken Theil unseres Satzes zu beweisen, müssen, aus einem gegebe-nen Punctc, mehrere gerade Linien nach den Ecken einer andern Linie ge-zogen werden, die als gebrochen betrachtet werden kann, wenn man in dieVoraussetzung Derer eingehen will, die de» Satz bestreiten. Die Converität