Anmerkungen

Erstlich. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zweiWinkel derselben einzeln gleich sind.

Zweitens. Zwei Vielecke sind ähnlich, wennbeide in gleich viele, ähnliche und ähnlich liegende,Dreiecke getheilt werden können.

Damit aber der zweite Theil nicht wiederum überflüssige Be-dingungen enthalte, muß die Zahl der Dreiecke der Zahl der Sei-ten weniger zwei gleich sein. Dieses kann auf zweierlei Art ge-schehen. Man kann entweder, aus zwei ähnlich liegenden Winkcl-schcitcln, Diagonalen nach den gegenüberliegenden Winkelscheiteln zie-hen, in welchem Falle die entstehenden Dreiecke in beiden Figureneinen gemeinschaftlichen Winkelscheitel bekommen, und ihre Summedem Inhalte des Polygons gleich ist, oder: man kann den Dreieckeneine Seite des Vielecks zur gemeinschaftlichen Grundlinie, und dieder Grundlinie gegenüberliegenden verschiedenen Winkelschcitcl zu Schei-teln geben. Da in beiden Fällen die Zahl der Dreiecke n—2 ist; so sinddie Bedingungen der Aehnlichkeit 2>i — 4, und die Erklärung enthältnichts Ueberflüssiges. Giebt man die Erklärung auf diese Weise,so wird die gewöhnliche zum Lehrsatze, den man gleich hinterher be-weisen kann*).

Ist schon die Erklärung ähnlicher, geradliniger Figuren in denElementen unvollkommen: so ist es diejenige ähnlicher Polyedernoch weit mehr. Beim Euclid beruht die Erklärung auf einemunbewiesenen Lehrsätze; bei andern Schriftstellern ist sie mit Wortenüberladen. Wir haben also, statt der gewöhnlichen Erklärung derahnlichen Körper, eine andere gewählt, welche sich auf die vorhinangegebenen Principien gründet. Da über diesen Gegenstand nochMehreres zu bemerken ist, so werden wir auf denselben in einer be-sonderen Anmerkung zurück kommen.

Die Erklärung des Perpendikels auf eine Ebene kann mehr alsein Lehrsatz betrachtet werden; diejenige der gegenseitigen Neigung

*) Obgleich der Hauptinbalt dieser Bemerkung, daß die gewöhnliche Er-klärung ähnlicher Figuren, selbst beim Euclid, mehr Bedingungen ver-langt, als nöthig sind, und folglich Lehrsätze i» sich schließt, uustreitig voll-kommen richtig ist; so läßt sich doch wohl gegen das klebrige noch Mancheseinwenden. So z. B. sind nicht unbedingt 2n —3 Stücke zur Constructioneiner Figur hinreichend; denn schon ein Dreieck kau» nicht allgemein mit zweiSeiten und einem Winkel construirt werden; der Winkel muß auch der sei»,welcher der größten von den beiden Seiten gegenüber liegt. Bei den Viel-ecken finden ähnliche Nebenbcdingungen Statt. Ferner sieht man nicht, warumgerade die Gleichheit zweier Winkel zur Erklärung der Aehnlichkeit der Dreieckedienen soll. Die übrigen Fälle der Aehnlichkeit wären vielleicht eben so pas-send zu diesem Zwecke. Allemal wird, wie es scheint, wenn man bestimmteStücke der Figur bezeichnet, die Erklärung entweder unvollständig sein, odereinem Lehrsätze ähnlich werden. Man sehe übrigens die obige Bemerkung desUebersctzcrs (S. 61.). Anm. d. Uebcrs.