VIH. Buch. Die drei runden Körper. Satz 10. 11. 261

Die Flache einer beliebigen Kugelzone ist gleichdem Productc der Höhe der Zone in den Umfangdes größten Kreises.

Fig. 269. U? sei ein beliebiger Bogen, größer oder klei-ner, als der Quadrant, und Id auf dem Halbmesser UL senk-recht; so behaupte ich, daß die, durch die Umdrehung des Bo-gens M um IZL beschriebene Zone, mit einer Grundflache,ULx Umf. UL zum Maße hat.

Man setze zuerst, die Zone habe ein kleineres Maß, undes sei dasselbe, wenn es möglich ist, — Utl x Umf. LA. Inden Bogen UL beschreibe man einen Thcil eines regelmäßigenVielecks UNbIL>?L, dessen Seiten den, mit dem HalbmesserLA beschriebenen, Umfang nicht erreichen. Darauf ziehe manLI auf IM senkrecht. Die durch die Umdrehung des VielecksLAIL um LL beschriebene Oberfläche hat zum Maße Id XUms. LI (9r S.). Dieses Product ist größer, als das Pro-duct Id x Umf. AL, welches, nach der Voraussetzung, dasMaß der vom Bogen UL beschriebenen Zone ist. Also wäre dievon dem Vielecke LAIAOUL beschriebene Oberfläche größer, alsdie von dem umschriebenen Bogen UL erzeugte Oberfläche. Im

Zweiecke gleich, dessen Winkel zum Maße hat,

^ /i'-i-ftiZ-ii—AL>

folglich seine Flache — VX^— ^

Im dreircchtwinkligen Dreiecke ist jeder der Bogen U, ss>,II gleich ^-L, also ihre Summe Z-L; der Ueberschuß dieserSumme über ^L ist ^L, und die Hälfte des Ueberschusses zL;also ist die Fläche des dreircchtwinkligen Dreiecks — zLxH,oder gleich dem achten Theile der ganzen Kugclfläche.

Der Inhalt der Kugclvielecke findet sich aus dem Inhalteder Dreiecke nach dem 24sten Satze des 7ten Buchs. Die Ein-heit des Flächenmaßes, nämlich das dreirechtwinklige Dreieck, istjetzt mit einer Ebene verglichen.