VIII. Buch. Die drei runden Körper. Satz 5. 6. 258

groß ist. als die Grundfläche des Kegels. Man kann anneh-men daß diese beiden Grundflächen in einerlei Ebene liegen.Alsdann sind die Spitzen 8 und V gleich weit von der Ebeneder Grundflächen entfernt, und die Ebene IM.», verlängert,schneidet die Pyramide in DAL. Nun behaupte ich, daß derSchnitt IIAL so groß ist, als die Fläche DL. Denn dieGrundflächen AD und DL verhalten sich unter einander, wiedie Quadrate der Halbmesser AD und DL (4s B. Ilr S.)^oder, wie die Quadrate der Höhen 80 und 8L. Ferner ver-halten sich die Dreiecke LEI! und DAL, wie die Quadrate die-ser nämlichen Höhen (6s B. ISr S.); also verhalten sich dieKreise AD und DL, wie die Dreiecke LDH und IIAL. Nachder Voraussetzung ist aber das Dreieck LDH dem Kreise ALgleich; also ist das Dreieck IIÄL gleich dem Kreise DL.

Nun ist das Product von AD in -^30 der körperliche In-halt des Kegels 84D, und das Product der Grundfläche LDHin ^80 der körperliche Inhalt der Pyramide LLDII; also istder Inhalt der Pyramide, weil die Grundflächen gleich sind,dem Inhalte des Kegels gleich. Aus einem ähnlichen Grundesind die Pyramide LDAL und der Kegel 8DL gleich groß; alsoist der abgekürzte Kegel ADLD der abgekürzten PyramideLDIIILL gleich. Aber die, dem Kreise vom Halbmesser A0an Inhalt gleiche, Grundflache LDH, hat zum Maße nXA(L;eben so die Grundfläche DAL, nX^D, und die mittlere Pro-portionale zwischen nXA(L und -rXDD ist rrXADxDL;also ist der Inhalt der abgekürzten Pyramide, welche dem In-halte des abgekürzten Kegels gleich ist, DL X (n X ALL ss-?rxDL'ss-zrX A0x DL) (6s V. 2Vr S.), oder-z -rX 0 LX (ALL ss- DD -ss DA X DL) 5).

*) Hier läßt sich ein ähnlicher Satz einschalten, wie oben beider abgekürzten Pyramide, nämlich folgender