VIII. Buch. Die drei runden Körper. Lehnsätze. 245
krumme Flächen allein beschränkt ist, sondern auch aus polye-drischc Flächen und auf solche Flächen paßt, welche aus mrh«rem Ebenen zusammengesetzt sind; desgleichen auf Flächen, dietheils krumm, theils pvlyedrisch sind.
Gesetzt nun, die Fläche GALEI) wäre nicht kleiner, als alleanderen, welche sie umgeben: so sei unter den letztern I^UEVdie kleinste, die also mindestens der Fläche O^IIEI) gleich seinmuß. Durch irgend einen Punct 0 lege man eine Ebene, wel-che die Fläche berührt, ohne sie zu schneiden; dieseEbene wird die Fläche I'H.UEI) schneiden, und davon einen Thciltrennen, welcher größer ist, als die Ebene von dem nämlichenUmfange (1r Lehnsatz). Behalt man also den Rest der FlacheU^LEI) bei; so kann man die Ebene an die Stelle der abge-schnittenen Fläche setzen, wodurch eine neue Fläche entstehet, dieebenfalls noch die Fläche O^IIEI) umgicbt, obgleich sie kleinerist, als
U^LEI) aber sollte, nach der Voraussetzung, schon unterallen die kleinste sein; also ist diese Voraussetzung nicht möglich;folglich ist die krumme Oberfläche 0AVEI1 kleiner, als jede an-
Grundfläche Denn, wäre sie kleiner: so ließe sich allemal
ein Vieleck innerhalb angeben, welches größer wäre, als der-
jenige Theil von der etwa ^UUl)U gleich sein soll, weil man
mit einem solchen Vielecke dem Inhalte der Fläche so nahe
kommen kann, als man will, so, daß also üUUOU nicht klei-ner sein kann, als Da nun auch ttUUDI' nichtgleich ist, weil beide Flächen einerlei Grenzen haben, undGrößen, die einerlei Grenzen haben, nur dann gleich sind, wenn sieganz in einander fallen: so ist AütU)l' nothwendig größer, als
Dieser Beweis ist zwar darauf beschrankt, daß sowohl die FlachettULUU gegen die Grundfläche überall ooncav, als darauf, daß diekrumme Linie nach außen überall concav sei; allein nur mit
dieser Einschränkung ist er auch, für das was hier folgt, noth-wendig.
Er darf nicht wohl übergangen werden, weil Alles, was vonden runden Körpern folgt, auf dem Satze, der zu beweisen war, be-ruht. A.n m. d. Uebers.