vm. Buch. Die drei runden Körper. Lchnsatze. 243

II.

Fig. 266. Jede convcxc Fläche OtLLEI) ist klei-ner, als eine beliebige andere, sie umschließende,Flache, von dem nämlichen Umfange

Wir wiederholen, daß unter cvnvexc Flache diejenige ver-standen wird, welche von einer geraden Linie in nicht mehr als

Art zu beweisen, wie den, daß die gerade Linie der kürzeste Wegvon einem Puncte zum andern ist, oder wie den Zten Satz im 7tcnBuche, welches, wie folgt, geschehen kann.

Fig. 264. Man beschreibe nämlich über der Ebene rLIZllv einbeliebiges Polyeder, dessen Ecken in der krummen Flacheliegen; so wird dessen Oberfläche allemal größer sein, als seine Grund-flache. Das Polyeder werde auf folgende Weise construirt: In derEbene beschreibe man ein beliebiges geradliniges Vieleck, des-

sen Ecken in der krummen Linie liegen, in welcher die krumme

Fläche die Ebene schneidet, und welche Linie überall concav angenom-men werden soll, so, daß das Bieleck nirgend einspringende Winkelbekommt. Dieses Vieleck theile man beliebig, mittels Diagonalen,in Dreiecke, so, daß die Summe der Dreiecke dem Inhalte desVielecks gleich ist, und errichte über den Seiten und Diagonalen derauf diese Weise entstehenden Figur Ebenen, senkrecht aufDiese senkrechten Ebenen werden die krumme Flache nothwcndig schnei-den, und zwar werden jedesmal die drei Perpendikel, über den dreiEcken eines Dreiecks, die krumme Fläche in drei verschiedenen Punc-ten treffen. Durch jede solche drei Puncte lege man eine Ebene; sowerden diese Ebenen, in sofern sie nicht etwa mit LLLU parallelsind, allemal größer sein, als die, in der Ebene A.L(U), senkrechtdarunter liegenden Dreiecke: niemals, selbst wenn sie mit /-lila) pa-rallel sind, kleiner; welches durch die obigen Sätze leicht bewiesenwerden kann. Die Summe aller jener neuen Dreiecke, welche zu-sammen eine polycdrische Oberfläche bilden, deren Ecken in der krum-men Fläche liegen, ist also nothwcndig größer, als dassenkrecht darunter liegende, in der Ebene ^.LLl) beschriebene, Vieleck.Gesetzt nun, das ebene Vieleck wäre größer, als der, senkrecht überihm liegende, Theil der krummen Oberfläche, oder ihm gleich: sowäre die, ebenfalls senkrecht über dem Vielecke liegende, polycdrischeOberfläche noch um so mehr größer, als jener Theil der krummenFläche. Es wurde aber vorausgesetzt, daß die krumme Fläche gegen dieGrundfläche ^LLI) überall concav ist; also liegt die polycdrische Flächeganz zwischen der krummen Fläche und der Grundfläche. Man theile