Geometrie.

Anmerkung. Der Cylinder, der Kegel und die Kugelsind die drei runden Körper, mit welchen sich die Elemen-tar- Geometrie beschäftiget.

Vorläufige Lehnsätze über die Oberflächen.

I.

Fig. 26». Eine Ebene 0ALEV ist kleiner, alsjede andere Fläche V^LVEV zwischen denselbenGrenzen AVEV.

Dieser Satz ist für sich selbst so klar, daß er wohl alsGrundsatz gelten könnte; denn die Ebene ist unter den Flächen,was die gerade Linie unter den Linien ist: die gerade Linie aberist die kürzeste zwischen zwei gegebenen Punctcn; also ist auchdie Ebene die kleinste Fläche unter allen Flächen zwischen densel-ben Grenzen. Da es indessen gut ist, so wenige Sätze als mög-lich zu Grundsätzen zu machen; so geben wir folgenden Beweis,welcher die erwa noch möglichen Zweifel heben wird.

Da jede Fläche in die Länge und Breite ausgedehnt ist; soläßt sich nicht anders begreifen, daß sie eine andere Fläche anGröße übertrifft, als wenn man sich vorstellt, daß die Abmes-sungen der ersten in irgend einer Richtung größer sind, als dieder andern. Wenn also die Abmessungen einer Fläche, nach al-len Richtungen, kleiner sind, als die Abmessungen einer andern;so ist klar, daß die erste der beiden Flächen die kleinere seinwird. In welcher Richtung man nun auch mit einer EbeneMV die gegebene Ebene nach LV, und die andere Fläche nachMV schneiden mag: immer wird die gerade Linie vv kürzersein, als MV. Also ist die Ebene kleiner, als die

sie umgebende Fläche I^VEI) ^).

*) Die Vorstellungen, im Anfange dieses Beweises, von denAbmessungen einer Fläche nach beliebigen Richtungen, sind wohl et-was unbestimmt, weil man sich Abmessungen nicht anders als nachbestimmten Richtungen vorstellen kann; auch ist es nicht deutlich, wiedie Ausdehnung einer krummen Fläche nach beliebigen Richtungengemessen werden könne. Der Beweis scheint also nicht ganz befrie-digend. Es dürfte vielmehr besser sein, den Satz auf eine ähnliche