*) Alle dergleichen Constructionen gehöre», meines ErachtenS, nicht zurreine» Geometrie, sondern zu Anwendungen derselben.

Anm. d. Uebcrs.

LDD sind auf dm Halbmessern, in ihren Endpuncten, senkrecht),und die Kugel ist in das Polyeder eingeschrieben, oder das Polyederum die Kugel beschrieben.

Man ziehe O-4 und OD; so entfernen sich, weil L/4 — LDist, die beiden schrägen Linien O4 und Uli gleich weit vom Perpen-dikel, und sind gleich. Ganz so verhalt es sich mit zwei beliebigenandern Linien, aus dem Mittelpunkte 0 nach den Endpuncten einerbeliebigen Kante; also sind alle diese Linien einander gleich. Beschreibtman also mit dem Halbmesser 04, aus 0, eine Kugelfläche; sogeht dieselbe durch die Scheitel aller Körperwinkel des Polyeders;folglich ist diese Kugel um das Polyeder, oder das Polyeder in dieKugel beschrieben.

Die Auflösung der Aufgabe selbst hat nun keine Schwierigkeitweiter, und ist folgende:

Fig. 249. Wenn die Seite einer Seitenfläche des Polyedersgegeben ist, so beschreibe man diese Seitenfläche; LI) sei ihre Apo-theme. Nun suche man, nach der vorigen Aufgabe, die Neigungzweier an einander liegenden Flächen des Polyeders, und mache denWinkel LDL dieser Neigung gleich. Ferner mache man DU! gleichLI), und ziehe LO und DO auf LI) und DD senkrecht; diese beidenPerpendikel werden sich in O schneiden, und LO wird der Halbmes-set der in das Polyeder beschriebenen Kugel sein.

In der Verlängerung von DL mache man L/4 gleich dem Halb-messer des um eine Seitenfläche des Polyeders beschriebenen Krei-ses ; so ist 04 der Halbmesser der um das Polyeder beschrie-benen Kugel.

Denn die rechtwinkligen Dreiecke LD0 und L4O, der 249stenFigur, sind den rechtwinkligen Dreiecken LDO und L4O der 248stenFigur gleich. Sind also LI) und L4 die Halbmesser der, in undum eine Seitenfläche des Polyeders beschriebenen, Kreise; so sind OLund O/4 die Halbmesser der, in und um das Polyeder beschriebenen,Kugeln *).

Anmerkung. Man kann aus diesen Sätzen mehrere Folge-rungen ziehen.

Erstens. Jedes regelmäßige Polyeder kann in so viele regel-mäßige Pyramiden getheilt werden, als das Polyeder Seitenflächenhat. Die gemeinschaftliche Spitze der Pyramiden ist der Mittel-