Fig. 247. Für das Jcosaeder beschreibe man, mit zweiWinkeln eines gleichseitigen Dreiecks, und einem Winkel des regel-mäßigen Fünfecks, einen Korperwinkel; so ist die Neigung zweierEbenen, in welchen die Winkel der Dreiecke liegen, diejenige zweieran tinandcrstoßenden Seitenflächen des Jcosacders.

Aus der gegebenen Kante eines regelmäßigenPolyeders den Halbmesser der in und um das Polye-der beschriebenen Kugel zu finden.

Fig. 248. Zuerst muß bewiesen werden, daß jedes regelmäßigePolyeder in und um eine Kugel beschrieben werden kann.

4L sei die gemeinschaftliche Kante zweier an einanderstoßendenSeitenflächen; L und L sollen die Mittelpunkte dieser Seitenflächen,und El) und LI) die Perpendikel aus den Mittelpunkten auf die ge-meinschaftliche Kante 4L sein, welche auf », die Mitte der Seite,fallen werden. Die beiden Perpendikel machen mit einander einengegebenen Winkel, welcher der Neigung der beiden zusammenstoßen-den Seitenflächen gleich ist, die nach der vorigen Aufgabe gefundenwird. Zieht man nun, in der auf 4L senkrechten Ebene LDL, aufLI) und LI) die -unbestimmten Perpendikel LO und LL>, welche sichin 0 schneiden: so behaupte ich, daß 0 der Mittelpunkt der in-und umschriebenen Kugel ist; der Halbmesser der ersten ist OL, derder andern 04.

Denn, da die Apothemcn LI) und DL gleich sind, die Hypo-thenuse DO aber gemeinschaftlich ist; so sind die rechtwinkligen Drei-ecke LDO und 0»L (1s B. 18r S.), und folglich die PerpendikelOL und OL gleich. Da nun aber 4L auf der Ebene LDL senkrechtist,, so ist die Ebene 4LL auf LDL senkrecht (6s B. 17rS.), oderLDL auf 4LL. Ferner ist, in der Ebene LDL, LO auf demDurchschnitte Li) der Ebenen LDL und 4LL senkrecht; folglich istLO auf der Ebene 4LL senkrecht (6s B. 18r S.). Aus demselbenGrunde ist LO aus der Ebene 4LL senkrecht; folglich schneiden sichdie beiden, auf zwei an einander stoßende Seitenflächen, durch ihrenMittelpunkt gezogenen, Perpendikel LO und LO in einem und dem-selben Punkte 0, und sind gleich. Nun lasse man 4LL und 4LLzwei beliebige andere, zusammenstoßende Seitenflächen vorstellen. DieApotheme LI) behält immer die nämliche Größe, eben wie der Win-kel LDO, der die Halste von LDL ist; also sind das rechtwinkligeDreieck LDO, und seine Seite LO, für alle Seitenflächen des Po-lyeders die nämlichen. Beschreibt man daher mit dem HalbmesserOL, aus O, eine Kugel; so wird dieselbe alle Seitenflächen des Po-lyeders in ihren Mittelpunkten berühren (denn die Ebenen 4LL und