Gco Metrie.

Beschreibt man nun in den Puncten L, L Körperwinkel,die dem Winkel -4/ gleich sind; so wird eine ausspringende FlächeVKKül «to. entstehen, die aus zehn gleichseitigen Dreiecken zusam-mengesetzt ist, deren jedes gegen das anstoßende die Neigung X hat,und die Winkel », ? etc., in seinem Umfange, werden abwech-selnd drei und zwei Winkel des gleichseitigen Dreiecks enthalten.Nun stelle man sich eine zweite Flache vor, welche der Flache Ilbb»,etc. gleich ist; so können diese Flachen an einander gefügt werden,wenn man jeden dreifachen Winkel, der einen Flache, an den zwei-fachen der andern legt. Da nun die Ebenen dieser Winkel schonunter einander die Neigung -kb haben, welche nöthig ist, um einenKörperwinkel zu bilden, der das Fünffache von ist: so wird, beider Jusammenfügung der Flachen, an denselben nichts geändert;sondern beide Flachen bilden nur eine einzige, ununterbrochene Fläche,die aus zwanzig gleichseitigen Dreiecken besteht. Diese Fläche ist diedes regelmäßigen Jcosaeders, weil, außerdem, alle Körperwinkelderselben einander gleich sind.

Dritter Satz. Aufgabe.

Die Neigung zweier, an einander stoßenden,, Sei-ten-Ebenen eines regelmäßigen Polyeders zu finden.

Diese Neigung laßt sich unmittelbar aus der oben beschriebenenConstruction der fünf regelmäßigen Polyeder, mit Hülfe des 24stcnSatzes im Zten Buche, finden, nach welchem aus den, einen Kör-perwinkel umschließenden, drei ebenen Winkeln, der Winkel zwischenzwei seiner Ebenen gefunden wird.

Fig. 243. Im Tetraeder ist jeder Körperwinkel von dreigleichseitigen Dreiecken umschlossen. Man muß also nach dem er-wähnten Satze, den Winkel zwischen zwei dieser Ebenen suchen:derselbe ist der Winkel zweier zusammenstoßenden Seitenflächen desTetraeders.

Fig. 244. Im Hexaeder ist der Winkel zwischen zwei zu-sammenstoßenden Seiten ein rechter.

Fig. 24S. Für das Octaedcr beschreibe man, mit zweiWinkeln eines gleichseitigen Dreiecks, und einem rechten Winkel, einenKörpcrwinkel; so ist die Neigung der beiden Ebenen, in welchen dieWinkel des Dreiecks liegen, diejenige von zwei zusammenstoßendenSeitenflächen des Octaeders.

Fig. 246. Im Dodecaeder wird jeder Körperwinkel vondrei Winkeln regelmäßiger Fünfecke gebildet; also ist die Neigung derEbenen von zwei dieser Winkel gleich derjenigen zweier an einander-stoßenden Seitenflächen des Dodecaeders.