Anh. zum 6. u. 7. Buche. Die regelmäßigen Polyeder. S. 2. 2Z5

dem Winkel Li geneigt ist. Es sei xststr eta. eine zweite, der V?(11Ietc. gleiche, Fläche; so behaupte ich, daß diese Flächen so zusammen-gesetzt werden können, daß sie eine einzige, ununterbrochene, aus-springende Fläche bilden. Denn, der Winkel oyl z. B. kann indie beiden Winkel und lll'? gefügt werden, so, daß ein, demWinkel ll gleicher, Körperwinkel V entsteht; bei der Ausammenfügungwird nichts in der Neigung der Flächen llV? und lkk'O geändert,weil diese Neigung gerade die ist, welche dem Körperwinkel zugehört.Aber, indem der Körpcrwinkel 1' gebildet wird, legt sich zugleich dieSeite xk auf die gleiche Seite 17?, und in dem Puncte ? vereinigensich die drei ebenen Winkel 7117, pls und elz, welche einen Kör-perwinkel bilden, der den schon construirten gleich ist; diese Zusam-menfügung geschieht ferner, ohne etwas, weder an dem Winkel Ichnoch an der Fläche el»K etc. zu ändern; denn die, schon in V zu-sammenstoßenden, Ebenen elf, haben unter einander die ge-hörige Neigung Li, eben wie die Ebenen est;, eist. Fährt man sovon einem Winkel zum andern fort, so wird man finden, daß sichdie beiden Flächen ganz in einander fügen lassen, und dann nur eineeinzige, in sich selbst fortlaufende, Fläche bilden: diese Fläche wirddie eines regelmäßigen Dodecaeders sein, weil sie aus zwölfregelmäßigen Fünfecken zusammengesetzt ist, und weil alle ihre Kör-perwinkel einander gleich sind.

Construction des Jcosaedcrs.

Fig. 247. ALL sei eine der gegebenen Flächen; so muß manzuerst einen Körperwinkel mit fünf, der Ebene ALL gleichen, undgegen einander gleichförmig geneigten, Ebenen beschreiben. Zu demEnde beschreibe man, über der Seite IVLch welche LL gleich ist, dasregelmäßige Fünfeck IVL/ILI/llch Im Mittelpuncte dieses Fünfeckserrichte man, auf seiner Ebene, ein Perpendikel, welches in ^ so ab-geschnitten wird, daß IV/V — IVLch und ziehe A'Lch A/IIch AAchtVIV; so wird der, von den fünf Ebenen IVA'Lch (7A/II/ etc. um--schlosscne, Körperwinkel A^ der verlangte Körperwinkel sein. Denndie schrägen Linien A^Lch etc., sind einander gleich; eine da-von, A/Lch ist gleich der Seite IVLch also sind alle die DreieckeLallst (7/1/11/ etc., einander und dem Dreiecke ALL gleich.

Außerdem ist leicht zu sehen, daß die Ebenen 1747(7, (7 4717k-W,, gleiche Neigung gegen die anstoßenden Ebenen haben; denn dieKörpcrwinkel IV, (7 sto, sind einander gleich, weil sie jeder von zweiWinkeln des gleichseitigen Dreiecks und einem regelmäßigen Fünfeckegebildet werden. Die Neigung zweier Ebenen, an den gleichen Win-keln, werde durch H bezeichnet. Diese Neigung kann nach dem24ten Satze des Zten Buchs bestimmt werden. Der Winkel L, wirdzugleich die Neigung jeder der Ebenen sein, welche den KörpcrwinkelAst oder den daran liegenden Winkel, bilden.