Geometrie,

daß 0? —08-^LO. Hierauf ziehe mau 8/L, 8L, l'/L etc.; soentsteht ein Körper 8äL0>>'?, welcher aus zwei viereckigen Pyrami-den 8^L0l), I^LOD zusammengesetzt ist, die in ihrer gemeinschaft-lichen Grundflache ^LOI) zusammenstoßen; und dieser Körper istdas verlangte regelmäßige Octaeder.

Denn das Dreieck ^08 ist in 0 rechtwinklig, eben wie dasDreieck -^OD; die Seiten ^0, 08, 0>> sind gleich; also sind dieDreiecke gleich, und folglich ist ^8 —H.D. Eben so wird bewiesen,daß alle die andern rechtwinkligen Dreiecke ^.01, L08, 00? slo.dem Dreiecke AOI) gleich sind; folglich sind alle Seiten, AL, A3,H? olo. einander gleich; und folglich ist der Körper 84L0D? unteracht Dreiecken begriffen, die sammtlich dem gleichseitigen DreieckeALSI gleich sind. Ich behaupte ferner, daß die Körpcrwinkel desPolyeders einander gleich sind, z. B. 8 —L.

Denn, offenbar sind die Dreiecke 8^.0 und DAO gleich; folg-lich ist der Winkel ^80 ein rechter; also ist die Figur 8^/10 ein,dem Quadrate ^LOD gleiches, Quadrat. Bergleicht man aber diePyramide LA80? mit der Pyramide 8LB0D, so kann die Grund-flache i)3?0 der ersten auf die Grundfläche ^4L0D der zweiten ge-legt werden. Da alsdann der Punct O ein gemeinschaftlicher Mit-telpunkt ist, so wird die Höhe OL der ersten in die Höhe 08 derzweiten, und die beiden Pyramiden werden zusammenfallen; folglichist der Körperwinkel 8 gleich dem Körperwinkel L, und mithin derKörper 8^L0D? ein regelmäßiges Octaeder.

Anmerkung. Wenn drei gleiche, gerade Linien ^0, LD,81' auf einander senkrecht stehen, und einander in der Mitte schnei-den; so sind die Endpuncte dieser geraden Linien die Scheitel einesregelmäßigen Octaedcrs.

Construction des Dodecaeders.

Fig. 246. L.LODL sei das gegebene regelmäßige Fünfeck;^L? und OL? sollen zwei ebene Winkel sein, die dem Winkel ^LLOgleich sind. Mit diesen ebenen Winkeln construirc man den Körper-winkel L, und bestimme, nach dem 24sten Satze des Ztcn Buchs, diewechselseitige Neigung zweier seiner Ebenen. Diese Neigung werdedurch 10 bezeichnet. Man construire, eben so, in den Puncten 0,I), L, A, Körperwinkel, die dem in L gleich sind, und eben soliegen. Die Ebenen OL? und LOO werden in einander fallen, weilsie beide gegen die Ebene ALOD die Neigung 10 haben. Man kannalso, in der Ebene ?LOO, das, dem Fünfecke ^LODL gleiche, FünfeckLOO?? beschreiben. Thut man ein Gleiches in jeder der Ebenen01)1, DLL etc., so entstehet eine ausspringende Oberflache L?ODeto., welche aus sechs regelmäßigen Fünfecken zusammengesetzt ist,die einander gleich sind, und deren jedes gegen das anliegende unter