Geometrie. Anh. z. 6. u. 7. B. Die rcgelmäß. Polyed. S. 1.2. 23:!

mäßige Polyeder: drei mit gleichseitigen Dreiecken, eins mit Vier-ecken^ und eins mit Fünfecken.

Anmerkung. In dem folgenden Satze wird bewiesen wer-den, daß die fünf regelmäßigen Polyeder wirklich existircn, und daßman alle ihre Abmessungen bestimmen kann, wenn man eine ihrerKanten kennt.

Zweiter Satz. Aufgabe.

Aus der gegebenen Seitenfläche, oder selbst nuraus der Kante eines regelmäßigen Polyeders, das-selbe zu construiren.

Diese Aufgabe enthält fünf einzelne Aufgaben, welche nacheinander ausgelbsct werden sollen.

Construction des Tetraeders.

Fig. 243. ALL sei das gleichseitige Dreieck, welches zu einerder Seitenflächen des Tetraeders dienen soll. Man errichte auf dieEbene ALL, in dem Mittelpuncte O des Dreiecks ALL, das Per-pendikel LS; man schneide dasselbe im Puncte S so ab, daß AS— AL, und ziehe SL und SL: so ist die Pyramide 8ALL das ver-langte Tetraeder.

Denn, da LA, LL und LL gleich sind, so entfernen sich dieschrägen Linien SA, SL und SL gleich weit vom Perpendikel SL>,und sind gleich. Eine von ihnen, SA, ist gleich AL; also sind dievier Seitenflächen der Pyramide SALL Dreiecke, welche dem gege-benen Dreiecke ALL gleich sind. Die Körpcrwinkel dieser Pyramidesind einander gleich, weil sie jeder von drei gleichen ebenen Winkelnumschlossen werden; also ist diese Pyramide ein regelmäßiges Te-traeder.

Construction des Hexaeders.

Fig. 244. ALL» sei ein gegebenes Quadrat. Ueber der Grund-fläche ALL» eonstruire man ein senkrechtes Prisma, dessen HöheAL der Seite AL gleich ist; so ist klar, daß die Seitenflächen diesesPrisma gleiche Quadrate, und daß seine Körperwinkel unter einandergleich sein werden, weil jeder von drei rechten Winkeln umschlossenwird; also ist dieses Prisma ein regelmäßiges Hexaeder, oderein Würfel.

Construction des Octaeders.

Fig. 24Z. AAlL sei das gegebene, gleichseitige Dreieck. Ueberder Seite AL beschreibe man das Quadrat ALL»; im Puncte L,dem Mittelpuncte des Quadrats, errichte man, auf seine Ebene, dasPerpendikel IS, und schneide es an beiden Enden '1 und S so ab.