Anhang

zum sechsten und siebenten Buche.Die regelmäßigen Polyeder.

Erster Satz. Lehrsatz.

Es giebt nur fünf verschiedene regelmäßige Po-lyeder*).

Denn regelmäßige Polyeder sind der Erklärung zufolge,diejenigen, deren Seitenflachen regelmäßige Vielecke, und deren Kör-perwinkel alle gleich sind. Beide Bedingungen zusammen finden nurin wenigen Fallen Statt.

Erstlich. Wenn die Seitenflachen gleichseitige Dreieckesind; so kann jeder Körperwinkel des Polyeders mit drei, vier, oderfünf solcher Dreiecke umschlossen werden; daraus entstehen drei regu-läre Körper: das Tetraeder, Octaeder und Jcosaedcr.Mehr regelmäßige Polyeder können aus gleichseitigen Dreieckennicht zusammengesetzt werden; denn sechs Winkel eines gleichseitigenDreiecks machen schon vier rechte aus, und bilden also keinen Kör-perwinkel mehr. (Ss B. 21r S.).

Zweitens. Sind die Seitenflächen Vierecke; so kann mannur drei ihrer Winkel um eine körperliche Ecke zusammenstellen. Dar-aus entsteht das Hexaeder oder der Würfel.

Vier Winkel des Vierecks machen schon zusammen vier rechteaus, und bilden also keinen Körperwinkel mehr.

Drittens. Sind die Seitenflächen Fünfecke; so kann manwieder nur drei Winkel derselben um eine körperliche Ecke legen;woraus das regelmäßige Dodecaeder entsteht.

Weiterkann man nicht gehen; denn vom regelmäßigen Sechs-ecke sind schon drei Winkel vier rechten gleich, und drei Winkel desSiebenecks betragen noch mehr. Folglich giebt es nur fünf regcl-

*) Nämlich convcrc Polyeder. Rechner man diejenigen mit ein-springenden Winkeln hinzu, so giebt es ihrer mehrere.

Anm. d. llebers.