vu. Buch. Die Kugel. Satz 26. 27. 22-1
zugleich in der Ebene des kleinen Kreises und in der Ebene des Bo-gens vom größten Kreise LLA liegen muß (1r S. 4r Zusatz), mußnothwendig in den Durchschnitt dieser beiden Ebenen fallen, welcherdie gerade Linie LA ist; also ist LA ein Durchmesser.
II. Anmerkung. Da in dem Dreiecke ALL der Winkel Lder Summe der beiden andern A und L gleich ist, so folgt, daß dieSumme der drei Winkel dem doppelten Winkel L gleich ist. Aberdiese Summe ist immer größer, als zwei rechte; also ist der WinkelL immer größer, als ein rechter.
Iii. Anmerkung. Wenn man die Seiten LL und LA ver-längert, bis sie sich in L schneiden; so ist das Dreieck LAL gleichdem vierten Thcile der Kugelflachc. Denn, der Winkel L ist — L
— ALL ss- LAL; also sind die drei Winkel des Dreiecks LAL zu-sammen den vierten ALL, ALL, LAL und LAL gleich, derenSumme gleich vier rechten ist; folglich ist der Inhalt des DreiecksLAL—4 — 2—2 (24r S.); welches der vierte Theil der Kugel-fläche ist.
IV. Anmerkung. Es würde kein Maximum geben, wenndie Summe der beiden gegebenen Seiten LA und LL gleich odergrößer wäre, als der halbe Umfang eines größten Kreises. Denn, dadas Dreieck ALL in einen Halbkreis der Kugel eingeschrieben werdensoll; so ist die Summe der beiden Seiten LA und LL kleiner, alsder halbe Umfang LLA (3r S.), und folglich kleiner, als der halbeUmfang eines größten Kreises.
Ein Maximum findet, im Falle die Summe der beiden gege-benen Seiten größer als der halbe Umfang eines größten Kreisesist, deshalb nicht Statt, weil alsdann das Dreieck immerfort zu-nimmt, je größer der von den gegebenen Seiten eingeschlossene Win-kel ist. Wachst dieser Winkel bis zu zwei rechten, so fallen die dreiSeiten in eine und dieselbe Ebene, und bilden einen ganzen Kreis-umfang. Das Kugcldreieck wird alsdann der Halbkugel gleich, undhört auf ein Dreieck zu sein.
Sieben und zwanzigster Satz. Lehrsatz.
Von allen Kugeldreiecken/ mit einer gegebenenSeite und gegebenem Umfange, ist das große ste das-jenige, in welchem die beiden, nicht bestimmten, Sei-ten gleich sind.
Fig. 242. Es sei AL die gegebene, den beiden Dreiecken ALLund ALL gemeinschaftliche Seite, und AL -j- LL — AL -s- LL: sobehaupte ich, daß das gleichschenklige Dreieck ALL, in welchem AL
— LL, größer ist, als das nicht gleichschenklige ALL.
Denn, da diese Dreiecke den Theil ALL gemein haben; sodarf nur gezeigt werden, daß das Dreieck LLL kleiner ist, als ALL.