Geometrie.

Der Winkel LL^ ist gleich O^L, und größer als O^L; also ist dieSeite t^O größer, als OL (21r S.). Man mache Ol—OL, OX

— Ol), und ziehe XI; so ist das Dreieck OXl —»OL. Behauptetman nun, daß das Dreieck LOL, oder das ihm gleiche DreieckXOI,nicht kleiner sei, als O^O; so wäre es gleich, oder größer. Inbeiden Fallen müßte der Punct X auf der verlängerten OO liegen,weil I zwischen A und O liegt; denn sonst würde das Dreieck OXlin dem Dreiecke LAO enthalten, und folglich kleiner sein. Nun istO-O der kürzeste Weg von O nach ^, und OX st- XI st- l^ > O^.Aber OX ^ Ol) — OO, ^1 L.O — OL, XI ^ L»; also Ol)

- O0st-^0 —0Lst-LI)>OA, und, reducirt, ^D —O»st-L!)

O/I, oder A» st- Ll) AO st- OL. Diese Ungleichheit ist aber

der Voraussetzung AI) st- LI)-^ÄO st-OL entgegen ; also kann derPunct X nicht in die Verlängerung von OO fallen; folglich fällt erzwischen O und O, und folglich ist das Dreieck XOl, oder dasgleiche Dreieck OI)L, kleiner, als AOO; mithin ist das gleichschenk-lige Dreieck AOL größer, als das nicht gleichschenklige ALL, vonder nämlichen Grundlinie und gleichem Umfange.

Anmerkung. Die beiden letzten Satze sind dem ersten unddritten Satze, im Anhange zum vierten Buche, ähnlich- Mankann also daraus für die Kugelvielecke Folgerungen ziehen, welcheden dortigen für die geradlinigen Vielecke ähnlich sind.

Folgende sind die vorzüglichsten:

1. Unter allen Kugelvielccken, von gleichem Um-fange und von der nämlichen Seitenzahl, ist das größtedas gleichseitige.

Der Beweis ist der nämliche, wie der des zweiten Satzes imAnhange zum vierten Buche.

2. Unter allen Kugelvielecken, deren Seiten, bisauf eine, gegeben sind, ist das größte dasjenige,welches in einen Halbkreis beschrieben werden kann,dessen Durchmesser die Sehne der einen, nicht be-stimmten, Seite ist.

Der Beweis folgt aus dem 26sten Satze; wie man in demvierten Satze des oben erwähnten Anhanges gesehen hat. Damitdas Maximum Statt finde, muß die Summe der gegebenen Seitenkleiner sein, als der halbe Umfang des größten Kreises.

3. Das größte unter allen Kugelvic lecken, von ge-gebenen Seiten, ist dasjenige, welches in einem Kreiseder Kugel beschrieben werden kann.

Der Beweis ist der nämliche, wie der des 6ten Satzes imAnhange des vierten Buchs.