Eeometri r.

fang, eben wie DLA; also, da L.D —LA, so ist auch LID —LI).Aber, in dem Dreiecke LliD ist L1-stlID)>LD^ also istI»)>i;D

— LI, oder ID'>ID.

Man Halbire, in dem gleichschenkligen Dreiecke LIL, den Win-kel I am Scheitel, durch den Bogen DIL, weicher aufLL, in des-sen Mitte, senkrecht stehen wird. Nimmt man nun zwischen I undIi einen Punct I- an, so ist die Entfernung III-, welche I-L gleichist, kleiner, als LI; denn, wie in dem 9ten Satze des Isten Buchs,kann bewiesen werden, daß LI--st DL LI -st IL; also daß, wennman auf beiden Seiten die Halste nimmt, LI- LI. Aber, indem Dreiecke DDL ist DDH>DD—LI-, und folglich, um so mehr,DD > DL —LI, oder DD>DI, oder DD>LI; also DD>LI-,Sucht man also, in dem Bogen LID, einen Punct, in gleicherEntfernung von den drei Puncten L, L, D, so kann derselbe nur inder Verlängerung von LI, nach L zu, liegen. D sei der gesuchtePunct, so, daß DD—LD —LD, so hat man die gleichen WinkelIDLIDL, IDIA------IDD, IDID-^IDD, weil die Dreiecke

IDL, IDID und IDID gleichschenklig sind. Aber die Winkel DDLund LLA/ betragen zusammen zwei rechte, eben wie DDL-stLLD,also ist

DDL -st IDL -st LL.D — Z,

LID — IDD' -st LLA' 2.

?^mimt man diese beiden Summen zusammen, und erwägt, daß IDL

— ' und DDL—IDD'------LDD—DDD^--LDD—LAL'; so

erhalt mau

2 IDL -st LAD -stLLA/ -st LL.D ----- 4;also ist LAD-st LLD-st LLA/—2 (welches das Maß des Inhaltsdes Dreiecks ADL ist) — 2 — 2 IDL, so, daß der Inhalt vonADL—2— 2 Wink. IDL ist. Eben so ist, für das DreieckALL, der Inhalt von ALL — 2 — 2 Wink. ALL. Vcwiesener-maßen ist aber der Winkel IDL größer, als der Winkel ILL; alsoist der Inhalt von ADL kleiner, als der Inhalt von ALL.

Fig. 273. Der nämliche Beweis und die nämliche Folgerungfindet Statt, wenn man, indem man den Bogen LA/ —LA nimmt,den Winkel LL^<sLLA macht, also ist das Dreieck ALL, unterallen, mit den zwei nämlichen gegebenen und einer dritten willkür-lichen Seite, das größeste.

Fig. 241. I. Anmerkung. Das Dreieck ALL, das größteunter allen mit zwei gegebenen Seiten LA und LL, kann in einenHalbkreis beschrieben werden, dessen Durchmesser die Sehne der drit-ten Seite AL ist. Denn, da D in der Mitte von AL liegt, so sindDL und DL gleich; folglich gehet der Umfang des kleinen Kreises,der aus dem Puncte D, als Pol, mit dem Abstände DL beschriebenwird, durch die drei Puncte A, L und L. Ferner ist die Linie LAein Durchmesser dieses kleinen Kreises; denn der Mittelpunct, welcher