VII. Wuch. Die Kugel. Satz 26. 26. 22?
Zusatz. Hieraus folgt, daß die Summe der ebenenWinkel, welche die Körperwinkel eines Polyeders bil-den, gleich ist so oft mal vier rechten Winkeln, alsEinheiten in 8 — 2 sind, wenn 8 die Zahl der Körper-winkel des Polyeders bedeutet.
Denn, betrachtet man eine Seitenfläche, deren Seitenzahl ni st; so ist die Stimme der Winkel dieser Seitenflache gleich 2u— 4rechte Winkel (1s B. 26r S.). Aber die Summe aller 2», oderdas Zweifache der Zahl der Seiten aller Seitenflächen ist—44,und die Zahl 4, so oft genommen, als Seitenflächen da sind, ist
— 414; also ist die Summe der Winkel aller Seitenflächen — 44
— 441. Aber, nach dem vorhin bewiesenen Satze ist 4—14
— 8 — 2; also ist 4 4 — 4 II — 4 (8 — 2). Folglich ist dieSumme der ebenen Winkel u. s. w.
Sechs und zwanzigster Satz. Lehrsatz.
Fig. 272 und 273- Von allen Kugeldrciecken mitzwei gegebenen Seiten LL und L4, und einer drittenwillkürlichen, ist das größte Dreieck 4LL dasjenige,in welchem derWinkel (1, zwischen den gegebenen Sei-ten, gleich ist der Summe der beiden andern Winkel4 und L.
Man verlängere die beiden Seiten 4(1 und 4L, bis sie sich in4> schneiden; so entsteht ein Kugeldrcieck LL0, in welchem der Win-kel LLI) auch der Summe der beiden andern Winkel LDL und LLI)gleich ist: denn, da LL»-j-LL4 zwei rechten Winkeln gleich ist,eben wie LL4-j-LLI); so ist LLI)-j-LL4^ LL4-HLLI). Manfüge LI)L^L4L hinzu, so ist LLI)-f-LL4-si LDL ^ LL4-j-LLI)-j-L4L. Aber, nach der Voraussetzung ist LL4 — LL4-j-L4L; also ist LLI) ^ LLI)-j-LDL.
Nun ziehe man LI, unter dem Winkel LLI —LLI), so, daßalso ILD-^LDL; so sind die beiden Dreiecke ILL und IL» gleich-schenklig, und es ist IL —IL—II); also ist der Punct I, in derMitte von I)L, von den drei Puncten L, L und l) gleich weit ent-fernt. Aus demselben Grunde ist der Punct O, in der Mitte von4L, von den drei Puncten 4, L und L gleich weit entfernt.
Fig. 272. Nun sei L47 — L4, und der Winkel LL4/>>LL4; zieht man 4/L, und verlängert die Bogen 4/L und 4L,bis sie sich in 1^ schneiden, so ist der Bogen !>L4/ ein halber Um-
scn Beweis, nebst mehreren Folgerungen aus dem Satze selbst, Z. B. indem Lehrbuche der Geometrie des IlebersctzerS. S. 668 u. s. w.
Anm. d. Hebers.15^