8 sei die Zahl der Kör per Winkel eines Polyeders,II die Zahl seiner Seiten-Ebenen, die Zahl seinerKanten: so behaupte ich, daß immer 8-s-11 — 4,-s-2 ist.

Man nehme innerhalb des Polyeders einen beliebigen Punctan, und ziehe aus demselben, nach allen Ecken, gerade Linien.Nun stelle man sich vor, daß aus dem nämlichen Puncte eine Ku-gclflache beschrieben sei; dieselbe wird von allen den Linien in ebenso vielen Puncten geschnitten; diese Puncte verbinde man mit ein-ander durch Bogen größter Kreise, so, daß auf der KugelflacheVielecke entstehen, die den Seitenflächen des Polyeders entsprechen,und ihnen an Zahl gleich sind. 4LLDL (Fig. 21V.) sei eines die-ser Vielecke, und n die Zahl seiner Seiten; so ist seine Fläches—2ufl-4, wenn s die Summe der Winkel 4, L, L,I), L bedeutet.Drückt man auf diese Weise die Flächen aller Kugelvielecke aus, undrechnet sie zusammen; so ist ihre Summe der Kugelfläche, die durch8 ausgedrückt wird, zugleich aber der Summe aller Winkel der Viel-ecke gleich, weniger zweimal die Zahl ihrer Seiten, und plu« viermaldie Zahl der Flächen. Da nun aber alle Winkel, welche um einenPunct liegen, zusammen gleich vier rechten sind; so ist die Summealler Winkel der Vielecke gleich so oft mal vier rechten, als Körper-winkel da sind; also gleich 4 8. Das Zweifache der Zahl der Sei-ten 411, LL, LI) eto., aber ist gleich dem Viersachen der Zahl derKanten, oder, gleich 4-4, weil jede Kante immer die Seite zweierSeitenflächen zugleich ist. Also ist 8 — 48 — 4-4 -s- 411, oder,wenn man auf jeder Seite den vierten Thcil nimmt, 2 — 8 — 4also

8 -j- 11 4 -j- 2 *).

*) Es giebt von diesem, für die Theorie der Polyeder wichtigen,Satze, der Eulcr zum Erfinder hat, außer dem obigen, Legcndre zu-gehörigen Beweise, noch andere Beweise, unter welchen sich besonders der-jenige von Cauch n durch seine Einfachheit auszeichnet. Man findet dic-

G eometric.

es ist klar, daß die Summe aller Winkel der Dreiecke gleich istder Summe der Winkel des Vielecks; also ist die Flache desVielecks gleich der Summe seiner Winkel, weniger so viel malzwei rechten, als es Seiten hat, weniger zwei.

Anmerkung. Es sei 5 die Summe der Winkel einesKugclvielecks, n die Zahl seiner Seiten. Nimmt man den rech-ten Winkel zur Einheit an, so hat die Flache des Kugelvieleckss — 2(n — 2), oder s — 2uZ-4 zum Maße.