Geometrie.

kleiner sind, als halbe Umfange; hieraus folgt, daß die Winkelstets kleiner sind, als zwei rechte; denn, wenn die Seiten ALund AL (Fig. 224.) kleiner sind, als halbe Umfange; so müssensich diese Bogen, verlängert, in I) schneiden. Aber die beidenWinkel ALL und LLL zusammen betragen zwei rechte; also istder Winkel AUL allein kleiner, als zwei rechte.

Es giebt indeß Kugeldreiccke, mit Seiten, die großer sind,als halbe Umfange, und mit Winkeln, die größer sind, als zweirechte. Denn, wenn man die Seite AL bis zu einem ganzenUmfange ALL verlängert; so ist das, was übrig bleibt, wennman das Dreieck ALL von der Halbkugel abzieht, ein neuesDreieck, welches ebenfalls durch ALL bezeichnet werden kann,und dessen Seiten AL, LL und ALLL sind. Die Seite ALLList größer, als der halbe Umfang ALL, und der gegenüberlie-gende Winkel L um LUV größer, als zwei rechte.

Daß bei der Erklärung der Dreiecke solche, deren Seitenund Winkel großer als zwei rechte sind, ausgeschlossen wurden,geschah deshalb, weil ihre Auflösung, oder die Bestimmung ih-rer Theile, mit der Auflösung von Dreiecken, welche der Erklä-rung gemäß sind, überein kommt. Denn, man sieht leicht, daß,wenn man die Winkel und Seiten des Dreiecks ALL kennt, auchdie Winkel und Seiten des andern Dreiecks ALL, welches vonder Halbkugel übrig bleibt, bekannt sind.

Zwanzigster Satz. Lehrsatz.

Fig. 230. Das Zweicck ANLIXA verhält sich zurKugclfläche, wie der Winkel NA IX des Zweiecks zuvier rechten, oder, wie der Bogen NIX, welcher die-sen Winkel mißt, zum Umfange.

Ist der Bogen NIX zum Umfange NIXLL> in einem ratio-nalen Verhältnisse, z. B. wie 6 zu 48; so theile man den Um-fang in 48 Theile, von welchen dann NIX fünf enthält. Nunziehe man, durch den Pol und die Theilungspuncte, eben soviele Viertelkreise, so hat man 48 Dreiecke in der HalbkugelANIXLtfl, welche alle einander gleich sind, weil sie alle die näm-lichen Bestimmungsstücke haben. Die ganze Kugel enthält alsoY6 dieser partiellen Dreiecke, und das Zweieck ANLIXA 10; also