VII. Buch. Die Kugel. Satz 13. 13.

21!)

Neunzehnter Satz. L e h r s a tz.

Die Summe der Winkel jedes Kugcldreiecks istkleiner als sechs, und größer, als zwei rechte Winkel.

Denn, erstlich, ist jeder Winkel eines Kugeldrciecks kleinerals zwei rechte. (Man sehe die unten folgende Anmerkung.)Also ist die Summe der drei Winkel kleiner, als sechs rechte.

Zweitens ist das Maß jedes Winkels eines Kugeldreiecksgleich dem halben Umfange, weniger der zugehörigen Seite desPolardreiecks (1Ur S.). Also hat die Summe der drei Winkelzum Maße drei halbe Umfange, weniger der Summe der Seitendes Polardreiecks. Diese letzte aber ist kleiner, als ein ganzerUmfang (4r S.); also ist der Rest, wenn man diese Summevon drei halben Umfangen abzieht, größer, als ein halber Um-fang, welcher das Maß von zwei rechten Winkeln ist; folglichist, zweitens, die Summe der drei Winkel eines Kugeldreiecksgrößer, als zwei rechte.

I. Zusatz. Die Summe der Winkel ist nicht in allen Ku-geldreiecken gleich groß, wie in geradlinigen Dreiecken; sie wech-selt von zwei bis zu sechs rechten Winkeln, kann aber beideGrenzen nicht erreichen. Zwei gegebene Winkel bestimmen alsoden dritten nicht.

II. Zusatz. Ein Kugeldreicck kann zwei und drei rechte,zwei und drei stumpfe Winkel haben.

Fig. 236. Wenn das Dreieck VLE zweir echt winklig(bi - reMkmZIs) ist, das heißt, wenn es zwei rechte Winkel IIund L hat; so ist der Scheitel V der Pol der Grundlinie LL(6r S.), und die Seiten VII und VL sind Quadranten.

Wenn auch der dritte Winkel V ein rechter ist, so ist dasDreieck VLL dreirechtwinklig (crl-rLei-mgls). Alle seineWinkel sind dann rechte, und die Seiten Quadranten. Dasdreirechtwinklige Dreieck ist achtmal in der Kugelfläche enthalten.Dieses zeigt sich in der 236tcn Figur, wenn daselbst der BogenNbl einen Quadranten bedeutet.

Anmerkung. Bei allem Obigen wird vorausgesetzt, daßdie Seiten der Kugeldreiecke, nach der sechsten Erklärung, stets