Geometrie.

Fünfter Satz. Lehrsatz.

Die Summe der Seiten jedes Kugelviclecks istkleiner, als der Umfang eines grüßten Kreises^

Fig. 225. Es sei z. B. das Fünfeck ALLVL gegeben.Man verlängere die Seiten AL und OL, bis sie sich in Vschneiden. Da LL kleiner ist, als LL-j-LL; so ist der Um-fang des Fünfecks ALLOL kleiner, als der Umfang des VierecksALOL. Man verlängere die Seiten AL und LO> bis sie sich inO schneiden; so ist LO-< LO-j-LOalso ist der Umfang desVierecks ALOL kleiner, als der Umfang des Dreiecks ALL.Dieser aber ist kleiner, als der Umfang eines grüßten Kreises:also ist, um so mehr, der Umfang des Vielecks ALLOL kleiner,als der Kreisumfang.

Anmerkung. Dieser Satz ist im Grunde mit dem 22nSatze des 6n Buches eins; denn, wenn 0 der Mittelpunct derKugel ist; so kann man sich in 0 einen, von den ebenen Win-keln AOL, LOL, LL>O etc. gebildeten Kürpcrwinkel vorstellen,und die Summe dieser ebenen Winkel ist kleiner, als vier rechte,welches das Nämliche ist, was hier behauptet wird. Der Be-weis aber ist von demjenigen im fünften Buche verschieden.An beiden Orten wird übrigens vorausgesetzt, daß das VieleckALLOL keine einspringende Winkel habe, oder, daß keine Seite,verlängert, die Figur schneide.

Sechster Satz. Lehrsatz.

Fig. 220. Wenn man den Durchmesser DU aufdie Ebene eines grüßten Kreises AülL senkrechtzieht; so sind die Endpuncte dieses DurchmessersPole des Kreises AML, und aller, mit demselbenparallelen, kleinen Kreise, wie LülL.

Denn, da OL auf der Ebene AML senkrecht ist, so ist esauch auf allen den geraden Linien LA, LAl, LU etc. senkrecht,welche, in dieser Ebene, durch seinen Fuß gehen; also sind alledie Bogen OA, OiVI, OL etc. Viertclkreisc. Eben dieses sinddie Bogen LA, Lül, LL etc.; also sind die Puncte O und Lvon allen Puncten des Umfanges AML gleich weit entfernt;mithin sind sie Pole des Uinfanges (5te Erkl.).