VII. Buch. Die Kugel. Satz. 4.

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Fig. 224. sei ein beliebiges Kugeldeeicck; man ver-

längere die Seiten VIZ und VE, bis sie sich von neuem in I)schneiden. Die Bogen VLI> und VEI) sind halbe Umfange,weil'sich Zwei größte Kreise immer in gleiche Theile theilcn(1r S.); in dem Dreiecke LEO aber ist die Seite IZE<BD-j-LV (2r S.). Thut man auf beiden Seiten VII-j-VE hinzu;so erhalt man VL-s-VE-s-IZE <s VIZI)-j-VE1), das heißt:VL-j-VE-s-LE ist kleiner, als der Umfang.

Er könnte also nur in VUL selbst liegen. Dieses aber anzuneh-men, ist ungereimt, weil sich selbst gleich ist, und folglichnicht sich selbst am meisten übertreffen kann. Mithin kann derkürzeste Weg von V nach L keine gegen VL concave Linie sein.Aber auch keine, etwa abwechselnd concave und convexe, Linie, wieFig. 9. Denn, zieht man in einer solchen, von einemWendungspuncte zum andern, größte Kreise, wie VI?, ?(), sisL; sosind die, gegen dieselben concaven, Theile der Linie V?si>L, wie soeben bewiesen, einzeln länger, als die Bogen V?, sislZ. Au-sammen sind sie aber schon länger, als Vll: also ist V?si)L um somehr länger, als VL. Mithin giebt es keine Linie in der Kugel-flache, außerhalb Vll, die kürzer wäre, als der größte Kreis VL; undfolglich ist der größte Kreis VL der kürzeste Weg, in der Kugel-fläche, von V nach U.

Es giebt noch einen andern, aus der Statik hergenommenenBeweis des Satzes, der zugleich nicht blos auf die Kugelfläche paßt,sondern aus jede krumme Fläche.

Ein Faden nämlich, der, wenn er zwischen zwei Puncteneiner krummen Oberfläche angespannt wird, nothwendig aus derOberfläche die kürzeste Linie zwischen diesen beiden Puncten bezeich-nen muß, kann nicht anders in Ruhe sein, als wenn die Richtun-gen seines Drucks aus die Fläche, auf derselben senkrecht sind.Diese Richtungen liegen nothwendig mit den einzelnen Theilen desFadens, in einerlei Ebenen. Für beliebige Flächen sind die Ebenendiejenigen, in welchen die Krümmungskreise liegen. Bei der Kugelfallen sie in eine und dieselbe Ebene, nämlich in diejenige, durchdie beiden gegebenen Puncte und den Mittelpunct der Kugel. Einesolche Ebene aber schneidet die Kugelfläche in einem größten Kreise,der durch die beiden gegebenen Puncte geht; also ist dieser der kürzesteWeg zwischen den beiden Puncten.

Doch ist der Beweis nicht rein geometrisch, und folglich demvorigen nicht vorzuziehen. Anm. d. Uebers.