VI. Buch. Die Polyeder. Satz 22. 23. 193

zusammengesetzt ist, so, daß der Inhalt dieses Prisma durch^LL^^L-si ^LL-^L^-L ! LO ausgedrückt werden

kann; welche Große sich auf 5 VLL>«!(M-I-L3-j-(!O) rcdu-circn laßt.

Drei und zwanzigster Satz. Lehrsatz.

In zwei ahnlichen dreiseitigen Pyramiden sinddie ahnlich liegenden Seiten-Ebenen ahnlich, unddie ahnlich liegenden Körperwinkel gleich.

Fig. 203. Nach der Erklärung dreiseitiger Pyramiden sinddie beiden Pyramiden 8^LL und VOLL ähnlich, wenn die bei-den Dreiecke 8rIL und VLL den Dreiecken VOL und OLLähnlich sind, und mit ihnen eine ahnliche Lage haben, das heißt,wenn die Winkel VL8^-VLV, L^8-^L0V, ^LL-^OLL.LVL —LDL sind, und wenn außerdem die Neigung der Ebe-nen 8^L und ^.LL der Neigung der Ebenen VOL und OLLgleich ist. Findet alles dieses Statt, so behaupte ich, daß indiesen Pyramiden alle Seiten-Ebenen ähnlich, und alle Korper-winkcl gleich sind.

Man mache LO —Lv, LH—Irl?, LI —LI, und zieheOL, LI, III: so ist die Pyramide VOLL der Pyramide IOLOgleich; denn, wenn die Seiten OL und LII den Seiten OLund LL gleich sind, so ist das Dreieck OL1I dem Dreiecke OLLgleich, weil nach der Voraussetzung die Winkel OLO und OLLgleich sind. Um also die beiden Pyramiden in einander zu le-gen, darf man nur die Grundfläche OLL in die gleiche Grund-fläche OLII legen; dann ist klar, daß, weil die Ebene OVLgegen OLL eben die Neigung hat, wie 8^L gegen ^LO, dieEbene OLV in ^IL8 fallen wird. Aber, nach der Voraussetzungsind die Winkel OLV und OLI gleich; also fällt LV auf diegleiche LI, und, da die vier Puncte O, L, L, 1 in die vierPuncte O, L, II, I fallen, so folgt (lr S.), daß die PyramideII)LI in die Pyramide IOLII fällt.

Nun ist, wegen der gleichen Dreiecke OLL, OLO, derWinkel LOII^LOL^L?tL; also ist LH mit ^O parallel.Aus demselben Grunde ist Ol mit ^8 parallel; also ist die EbenelOIlmit 8^IL parallel (13r S.). Daraus folgt, daß das Dreieck

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