VI. Buch. Die Polyeder. Satz 22.
Grundfläche beliebig geneigten, Ebene III?? schnei-det: so ist der entstehende Körper tili?!)?? gleichder Summe dreier Pyramiden, deren Spitzen v, I?und b sind, und deren gemeinschaftliche GrundflacheALL ist.
Man lege durch die drei Puncte I?, A, die Ebenewelche von dem schief abgeschnittenen Prisma AHÜM8 die drei-seitige Pyramide 8.1110 abschneidet. Diese Pyramide hat 1^0zur Grundflache und 8 zur Spitze.
also----5 II ssb'P-2bl-st-Hb (bHc)^!^^-II sZb'-s-Zblc-j-Q); oder—II Q). Nun ist der Inhalt des er-
sten Prisma, dessen Grundflache die halbe Summe der beiden Grund-
flz- ->1,^ ^
flachen der Pyramide sein soll, — II. ———N HI — n
flu-j-bl HIck); der Inhalt des zweiten Prisma, dessen Grund-flache der Schnitt der abgekürzten Pyramide in der halben Höhe sein
soll, ist II. ^^^)^II(bst-zi)^II(b--s-bIe-ch-zi-).
Also ist der Inhalt:
der abgekürzten Pyramide — II (Ick H II H ^ ^);des ersten Prisma — II (b^ H bl H .^1');des zweiten Prisma — II Hb' -s- bl H ss-1');folglich ist die abgekürzte Pyramide um Z-HIck kleiner, als das erste,und um 12^", um halb so viel, größer, als das zweite Prisma.Es ist aber I' ein Quadrat, welches in derjenigen Höhe der quadra-tischen Pyramide liegt, in welcher die Seiten I des Schnitts demUnterschiede der Seiten n und b der untern und der obern quadra-tischen Grundfläche gleich sind. In der nämlichen Höhe sind dieSeiten des Schnitts der Pyramide, mit unverwandelten vicleckigenGrundflächen, den Unterschieden der Seiten der obern und unternGrundflache gleich, weil sich, eben wie die Seiten der Quadrate, dieSeiten der Vielecke wie die nämlichen Höhen verhalten. Also drückt,s >>!' den Inhalt einer Pyramide aus, von deren Grundfläche, insofern man sie in eine den Grundflächen der abgekürzten Pyramideähnliche Figur verwandelt, die Seiten, den Unterschieden der ähnlichliegenden Seiten der Grundflächen der abgekürzten Pyramide gleichsind, deren Höhe aber die Hälfte der Höhe der abgekürzten Pyramideist-, und un> eine solche Pyramide ist die abgekürzte kleiner, als daserste verglichene Prisma, um die Hälfte derselben aber größer, alsdas andere. Anm. d. Uebers.