VI. Buch. Dic Polyeder. Satz 21.

Hohe, weil ihre Spitzen Z und Iv in einer mit IV, und folglichmit der Ebene der Grundflache, parallelen Linie gl. liegen; mit-hin sind diese Pyramiden gleichgroß. Aber die Pyramide lllVIlkann angesehen werden, als hatte sie ihren Scheitel in k; dannaber hat sie gleiche Höhe mit der abgekürzten, und von ihrerGrundfläche IckxII laßt sich zeigen, daß sie die mittlere Propor-tionale zwischen den Grundflächen VKII und 1-zlr ist. Denn dieDreiecke IHK. und loch haben einen gleichen Winkel V—I, undeine gleiche Seite I Ix -lsi; also ist IVIIx: Igll—KU: 1K (3sB. 24r S-). Aber es ist auch IIXI : I IIIx —III : I'!x oderlg. Nun geben dic ähnlichen Dreiecke K(1II und l-rlrk(ch>A —KH:1Ir; also Kill : Ililv— IHK: lsil,; folglich ist dieGrundfläche KHK die mittlere Proportionale zwischen den beidenGrundflächen KKIl und lgli. Mithin ist eine abgekürzte dreisei-tige Pyramide, mit parallelen Grundflächen, so groß, als dreiPyramiden zusammen genommen, welche zur gemeinschaftlichenHohe die Hohe der abgekürzten, und zu Grundflächen die obereund dic untere Grundfläche der abgekürzten und eine mittlereProportionale zwischen beiden haben ^).

H So sinnreich auch der geometrische Beweis dieses Satzes ist:so ist dock ein, auf den neunzehnten Satz gegründeter, algebraischerBeweis kürzer. Es sei nämlich, in der 214tcn Figur, die Grund-flache der oben abgeschnittenen Pyramide Lack, nämlich uk-cks —15,dic Höhe dieser Pyramide x, die Grundfläche der ganzen Pyramide3VI), nämlich VI5KDK —V, die Höhe der abgekürzten—II; also

die Höhe der ganzen Pyramide — Ilfl-x: so ist : denn

ack 15

die Grundflächen verhalten sich, wie die Quadrate ähnlich liegenderSeiten, und folglich, weil sich diese wie die Höhen verhalten, auch

III -l- xch V

wie die Quadrate der letztem. Aus ——— folgt (IIfl-x)^. L

x" II

— Vxch oder (k-s-x) /K—x/ V, und hieraus I1v"L —x(/V—/L).Nun ist der Inhalt der ganzen Pyramide (Il-s-x),und der Inhalt der oben abgeschnittenen Pyramide ^ 15x; beides zu-folge des Igten Satzes. Also ist der Inhalt der abgekürzten Pyra-mide, welchen man findet, wenn man den Inhalt der oben abge-schnittenen von dem Inhalte der ganzen Pyramide abzieht, — ^(II -j-x) — ,s lk oder — 2 <ch —15) x -j- ^11. ?iun war vorhin11/15—x (/V — /15). Multiplicirt man dieses auf beiden Sei-