VI. Buch. Die Polycdcr. Satz 14. 1Z. 181

Verlangt man einen Cubus, der den zweifachen Inhalteines gegebenen hat, so muß sich die Seite des gesuchten Wür-fels zur Seite des gegebenen, wie die Cubikwurzcl aus 2 zurEinheit verhalten. Die Quadratwurzel aus 2 kann mandurch eine geometrische Construction leicht finden, nicht aber dieCubikwurzcl, wenigstens nicht durch Operationen der Elemcntar-Gcvmctric, bei welchen nur gerade Linien, von denen man zweiPuncte kennt, und Kreisbogen, deren Mittelpuncte lind Halb-messer gegeben sind, vorkommen.

Wegen dieser Schwierigkeit ist die Aufgabe der Verdop-pelung des Würfels bei den alten Geometcrn berühmt ge-worden, so wie die Aufgabe von der Thcilung einesWinkels in drei gleiche Thcile, welche ungefähr von dernämlichen Art ist. Indessen sind jetzt schon lange Auslosungensolcher Aufgaben bekannt, die, obgleich weniger einfach, alsCvnstructioncn der Elementar-Geometrie, diesen dennoch an Ge-nauigkeit und Strenge nichts nachgeben.

Fünfzehnter Satz. Lehrsatz:

Der Inhalt eines Parallelepipedum s, undüberhaupt eines beliebigen Prisma, ist gleich demProductc der Grund flache in die Höhe.

Denn, erstlich, ist jedes Parallelepipedum an Inhaltgleich einem rechteckigen Parallclcpipedo, von der nämlichenHohe und gleich großer Grundfläche (11r S.), und der Inhaltdes letztern ist gleich dem Producte der Grundfläche in dieHöhe; also ist der Inhalt des ersten ebenfalls gleich dem Pro-ducte der Grundfläche in die Höhe.

Zweitens, ist jedes dreiseitige Prisma die Hälfte einesParallelepipedums von der nämlichen Höhe und der doppeltenGrundfläche (8r S). Der Inhalt des letztem aber ist gleichdem Producte seiner Grundfläche in die Hohe; also ist der In-halt des dreiseitigen Prisma gleich dem Producte seiner Grund-flache, welche die Hälfte der Grundfläche des Parallelepipedumsausmacht, in seine Höhe.

Drittens. Jedes Prisma kann in so viel dreiseitigePrismen, von der nämlichen Höhe, gethcilt werden, als die