VI. Buch. Die Polyeder. Satz 2. IM

von einer gleichen Zahl, einzeln gleicher, Seiten-Ebenen um-schlossen sind.

Nun ist noch übrig, zu zeigen, daß die Neigung zweierbeliebigen, an einander stoßenden, Seiten-Ebenen in dem einenPolyeder der Neigung der ähnlich liegenden Seiten-Ebenen indem andern gleich ist.

Es seien Al?U und IV?ss) zwei Dreiecke, die an einer undderselben Kante IV?, in den Ebenen zweier an einander stoßen-den Seitenflachen liegen; A?I"IV und die ahnlich lie-genden Dreiecke im andern Polyeder; so kann man sich, in IV,einen von drei ebenen Winkeln AMs), AM? und ?Vs), undin IV, einen von den drei ebenen Winkeln A?IV()tz A?IVI" undMIVY" gebildeten Körperwinkel vorstellen. Nun ist schon be-wiesen, daß diese ebenen Winkel gleich sind; also ist die Nei-gung zweier Ebenen IVIIV? und ?IVY der Neigung der ahnlichliegenden Ebenen AVIV?" undMIVE? gleich (6s B. 22r S.).

Folglich sind in symmetrischen Polyedern die Kanten einzelngleich, und die Ebenen zweier beliebigen, an einander liegenden,Seitenflächen des einen Körpers machen unter einander dennämlichen Winkel, wie die Ebenen der ähnlich liegenden Seiten-flachen des andern Körpers.

Anmerkung. Es ist zu bemerken, daß die Körpcr-winkel des einen Polyeders zu denen des andernsymmetrisch sind; denn, wenn z. B. der Körperwinkel IVdurch die Ebenen IVIIV?, ?Nt), (MK elc. gebildet wird, sowird der ahnlich liegende Korperwinkel lV durch die EbenenA?v?-, I"V()si yllVI? etc. gebildet. Diese scheinen zwareben so auf einander zu folgen, wie die andern; allein, da diebeiden Körpcrwinkcl gegen einander umgekehrt liegen, so folgt,daß die wirkliche Lage der Ebenen, welche den Körpcrwinkcl IVbilden, der Lage der Ebenen, welche den ähnlich liegenden Kör-pcrwinkcl IV begrenzen, entgegengesetzt ist. Uebrigcns sind dieNeigungen der auf einander folgenden Ebenen in beiden Körperndieselben, und es sind die Körpcrwinkcl unter einander symmetrisch.(Man sehe die Anmerkung zum 23stcn Satz im Ztcn Buche.).

Aus der vorigen Bemerkung folgt, daß zu jedem Po-lyeder nur ein Polyeder symmetrisch ist. Denn, con-