V. B. Bon d. Ebene u> d. kürpcrl. Winkeln. S. 17. 151

p IN lV allemal verhalten, wie der Winkel VA? zum WinkelLAU, welches auch das Berhaltniß dieser Winkel sein mag.

1>—ma, auch, wenn m nicht angegeben werden kann. Leugnetman solches, so behauptet man gcgcntheils, daß 11 entweder größer,oder kleiner ist, als m/1, z. B. größer; also vielleichtsm-j-a)A, wo »i-ß-s irgend eine angcbbare, oder nicht angebbareZehl ausdrückt, die größer ist, als m. Nun laßt sich aber zeigen,daß, was auch m und e sein mögen, allemal eine angebbaren möglich ist, die zwischen m und m-j-s liegt, das heißt, diegrößer ist, als m, und kleiner, als m-ste. Denn, unstreitig istein« angebbare Zahl -V möglich, die kleiner ist, als >», weil m,obgleich nicht angebbar, keinesweges die kleinste aller Zahlen, dasheißt nicht — o sein soll; eben so, eine angebbare Zahl »", diegrößer ist, als m-j-s, weil m-j-<z nicht die größte aller Zahlen,das heißt, nicht unendlich groß sein soll. Von jeder angcbbarcnZahl, wie iL, bis zu einer größcrn, wie n", kann man aber stufen-weise, oder durch Zurechnung von Unterschieden, gelangen. Da nundiese Unterschiede so klein angenommen werden können, als manwill, also auch kleiner, als e, weil s nicht die kleinste aller Zahlen,das heißt nicht — o sein soll: so muß eine der verschiedenen angeb-baren Zahlen, die zwischen >V und n" möglich sind, z. B. n,nothwendig zwischen m und m-j-o fallen. Denn, von iV bis nachu" sollen die Zahlen m und m-j-s beide überstiegen werden, wel-ches mit beiden zugleich nicht möglich ist, sobald der Unterschiedder zwischen iL und u" angenommenen Zahlen kleiner ist, als derUnterschied von m und m-j-s; vielmehr kann nur die eine Zahl inzuerst allein überstiegen werden; woraus folgt, daß diejenige Zahl n>welche m übersteigt, m-st o aber nicht, nothwendig zwischen m undm-sto liegen muß.

Nun nehme man an, aus a werde st" —na; so wird aus /I,L" —n/1, weil u eine angebbare Zahl, und, nach der Voraus-setzung, für alle mögliche angebbare Zahlen dieser Umstand be-wiesen ist. Oben wurde aber angenommen, daß A in IV—(m-st e) Aübergehe, wenn a in st—ma übergeht; also wäre, wenn man stnach st" gehen laßt, in welchem Falle das zu st gehörige IV nachdem zu st gehörigen 11" geht, IV —sm-sts)A in L" —nA über-gegangen, wahrend st —ma in st" —na überging. Dieses aber istunmöglich, weil sm-sto)A^>nA, und hingegen ma<^na, so, daßL abgenommen haben müßte, während st zunahm, was der Vor-aussetzung der Eigenschaft zusammengehöriger Größen zu-wider ist. Also kann L nicht größer sein, als m.1, wennst —ma ist.

Eben so wird bewiesen, daß II nicht kleiner sein kann, alsm/1, wenn st —ma ist.